미적분 예제

$\int \frac{1}{4^{2 a x}} d x$

단계 1

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1

$4^{2 a x}$ 의 지수의 부호를 반대로 바꾸고 분모 밖으로 빼냅니다.

$\int 1 {(4^{2 a x})}^{- 1} d x$

단계 1.2

간단히 합니다.

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단계 1.2.1

${(4^{2 a x})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int 1 \cdot 4^{2 a x \cdot - 1} d x$

단계 1.2.1.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int 1 \cdot 4^{- 2 a x} d x$

단계 1.2.2

$4^{- 2 a x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int 4^{- 2 a x} d x$

단계 2

먼저 $u = - 2 a x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 a d x$ 이므로 $\frac{1}{- 2 a} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = - 2 a x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$- 2 a x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- 2 a x]$

단계 2.1.2

$- 2 a$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 a x$ 의 미분은 $- 2 a \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 a \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 a \cdot 1$

단계 2.1.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 a$

단계 2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int 4^{u} \cdot \frac{1}{- 2 a} d u$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int 4^{u} \cdot (- \frac{1}{2 a}) d u$

단계 3.2

$4^{u}$ 와 $\frac{1}{2 a}$ 을 묶습니다.

$\int - \frac{4^{u}}{2 a} d u$

단계 4

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{4^{u}}{2 a} d u$

단계 5

$\frac{1}{2 a}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2 a}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{2 a} \int 4^{u} d u)$

단계 6

$4^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{4^{u}}{\ln (4)}$ 입니다.

$- \frac{1}{2 a} (\frac{4^{u}}{\ln (4)} + C)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$- \frac{1}{2 a} (\frac{4^{u}}{\ln (4)} + C)$ 을 $- \frac{1}{2 a} \cdot \frac{1}{\ln (4)} \cdot 4^{u} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{2 a} \cdot \frac{1}{\ln (4)} \cdot 4^{u} + C$

단계 7.2

간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$\frac{1}{\ln (4)}$ 에 $\frac{1}{2 a}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{\ln (4) (2 a)} \cdot 4^{u} + C$

단계 7.2.2

$\ln (4)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{1}{2 \cdot \ln (4) a} \cdot 4^{u} + C$

단계 7.2.3

$4^{u}$ 와 $\frac{1}{2 \ln (4) a}$ 을 묶습니다.

$- \frac{4^{u}}{2 \ln (4) a} + C$

단계 8

$u$ 를 모두 $- 2 a x$ 로 바꿉니다.

$- \frac{4^{- 2 a x}}{2 \ln (4) a} + C$