미적분 예제

$x \cdot e^{x}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

단계 1.3.2

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x e^{x} + e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2.2.4

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$e^{x}$ 를 $e^{x}$ 에 더합니다.

$x e^{x} + 2 e^{x}$

단계 2.4.2

항을 다시 정렬합니다.

$e^{x} x + 2 e^{x}$

단계 2.4.3

$e^{x} x + 2 e^{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$