미적분 예제

$\int (\frac{- 4 x - 4 x^{5}}{x^{2}} + 5 e^{7 x}) d x$

단계 1

괄호를 제거합니다.

$\int \frac{- 4 x - 4 x^{5}}{x^{2}} + 5 e^{7 x} d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{- 4 x - 4 x^{5}}{x^{2}} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

단계 3

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 3.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int (- 4 x - 4 x^{5}) {(x^{2})}^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

단계 3.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int (- 4 x - 4 x^{5}) x^{2 \cdot - 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

단계 3.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int (- 4 x - 4 x^{5}) x^{- 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

단계 4

$(- 4 x - 4 x^{5}) x^{- 2}$ 을 전개합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int - 4 x \cdot x^{- 2} - 4 x^{5} x^{- 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

단계 4.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int - 4 (x^{1} x^{- 2}) - 4 x^{5} x^{- 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

단계 4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int - 4 x^{1 - 2} - 4 x^{5} x^{- 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

단계 4.4

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\int - 4 x^{- 1} - 4 x^{5} x^{- 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

단계 4.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int - 4 x^{- 1} - 4 x^{5 - 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

단계 4.6

$5$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\int - 4 x^{- 1} - 4 x^{3} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

단계 4.7

$- 4 x^{- 1}$ 와 $- 4 x^{3}$ 을 다시 정렬합니다.

$\int - 4 x^{3} - 4 x^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int - 4 x^{3} d x + \int - 4 x^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

단계 6

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 4 \int x^{3} d x + \int - 4 x^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$- 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 4 x^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

단계 8

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 \int x^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

단계 9

$x^{- 1}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$- 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + \int 5 e^{7 x} d x$

단계 10

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 5 \int e^{7 x} d x$

단계 11

먼저 $u = 7 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 7 d x$ 이므로 $\frac{1}{7} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 11.1

$u = 7 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 11.1.1

$7 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [7 x]$

단계 11.1.2

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$7 \frac{d}{d x} [x]$

단계 11.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 \cdot 1$

단계 11.1.4

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7$

단계 11.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 5 \int e^{u} \frac{1}{7} d u$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$- 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 5 \int e^{u} \frac{1}{7} d u$

단계 12.2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{7}$ 을 묶습니다.

$- 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{e^{u}}{7} d u$

단계 13

$\frac{1}{7}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{7}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 5 (\frac{1}{7} \int e^{u} d u)$

단계 14

$\frac{1}{7}$ 와 $5$ 을 묶습니다.

$- 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + \frac{5}{7} \int e^{u} d u$

단계 15

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$- 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + \frac{5}{7} (e^{u} + C)$

단계 16

간단히 합니다.

$- x^{4} - 4 \ln (| x |) + \frac{5}{7} e^{u} + C$

단계 17

$u$ 를 모두 $7 x$ 로 바꿉니다.

$- x^{4} - 4 \ln (| x |) + \frac{5}{7} e^{7 x} + C$