미적분 예제

$\int 2 x^{2} {(x - 5)}^{2} d x$

단계 1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int x^{2} {(x - 5)}^{2} d x$

단계 2

$x^{2} {(x - 5)}^{2}$ 을 전개합니다.

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단계 2.1

${(x - 5)}^{2}$ 을 $(x - 5) (x - 5)$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \int x^{2} ((x - 5) (x - 5)) d x$

단계 2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \int x^{2} (x (x - 5) - 5 (x - 5)) d x$

단계 2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \int x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) d x$

단계 2.4

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \int x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) d x$

단계 2.5

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \int x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 5) + x^{2} (- 5 x - 5 \cdot - 5) d x$

단계 2.6

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \int x^{2} (x \cdot x) + x^{2} (x \cdot - 5) + x^{2} (- 5 x - 5 \cdot - 5) d x$

단계 2.7

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \int x^{2} (x \cdot x) + x^{2} (x \cdot - 5) + x^{2} (- 5 x) + x^{2} (- 5 \cdot - 5) d x$

단계 2.8

$x$ 와 $- 5$ 을 다시 정렬합니다.

$2 \int x^{2} x \cdot x + x^{2} (- 5 \cdot x) + x^{2} (- 5 x) + x^{2} (- 5 \cdot - 5) d x$

단계 2.9

$x^{2}$ 와 $- 5$ 을 다시 정렬합니다.

$2 \int x^{2} x \cdot x - 5 \cdot x^{2} \cdot x + x^{2} (- 5 x) + x^{2} (- 5 \cdot - 5) d x$

단계 2.10

$x^{2}$ 와 $- 5$ 을 다시 정렬합니다.

$2 \int x^{2} x \cdot x - 5 \cdot x^{2} \cdot x - 5 \cdot x^{2} x + x^{2} (- 5 \cdot - 5) d x$

단계 2.11

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$2 \int x^{2} x \cdot x - 5 \cdot x^{2} \cdot x - 5 \cdot x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

단계 2.12

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 \int x^{2} x^{1} x - 5 x^{2} x - 5 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

단계 2.13

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 \int x^{2 + 1} x - 5 x^{2} x - 5 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

단계 2.14

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 \int x^{3} x - 5 x^{2} x - 5 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

단계 2.15

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 \int x^{3} x^{1} - 5 x^{2} x - 5 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

단계 2.16

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 \int x^{3 + 1} - 5 x^{2} x - 5 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

단계 2.17

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 \int x^{4} - 5 x^{2} x - 5 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

단계 2.18

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 \int x^{4} - 5 (x^{2} x^{1}) - 5 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

단계 2.19

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 \int x^{4} - 5 x^{2 + 1} - 5 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

단계 2.20

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 \int x^{4} - 5 x^{3} - 5 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

단계 2.21

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 \int x^{4} - 5 x^{3} - 5 (x^{2} x^{1}) - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

단계 2.22

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 \int x^{4} - 5 x^{3} - 5 x^{2 + 1} - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

단계 2.23

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 \int x^{4} - 5 x^{3} - 5 x^{3} - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

단계 2.24

$- 5$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$2 \int x^{4} - 5 x^{3} - 5 x^{3} + 25 x^{2} d x$

단계 2.25

$- 5 x^{3}$ 에서 $5 x^{3}$ 을 뺍니다.

$2 \int x^{4} - 10 x^{3} + 25 x^{2} d x$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$2 (\int x^{4} d x + \int - 10 x^{3} d x + \int 25 x^{2} d x)$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} x^{5}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C + \int - 10 x^{3} d x + \int 25 x^{2} d x)$

단계 5

$- 10$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 10$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C - 10 \int x^{3} d x + \int 25 x^{2} d x)$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C - 10 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 25 x^{2} d x)$

단계 7

$25$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $25$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C - 10 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 25 \int x^{2} d x)$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C - 10 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 25 (\frac{1}{3} x^{3} + C))$

단계 9

간단히 합니다.

$2 (\frac{x^{5}}{5} - \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{25 x^{3}}{3}) + C$

단계 10

항을 다시 정렬합니다.

$2 (\frac{1}{5} x^{5} - \frac{5}{2} x^{4} + \frac{25}{3} x^{3}) + C$