미적분 예제

$\frac{- y}{x^{2} + y^{2}}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{2} + y^{2}}]$

단계 1.2

$- y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{y}{x^{2} + y^{2}}$ 의 미분은 $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$ 입니다.

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$

단계 1.3

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 을 ${(x^{2} + y^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- y \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{- 1}]$

단계 2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2} + y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + y^{2}$ 로 바꿉니다.

$- y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

단계 2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + y^{2}$ 로 바꿉니다.

$- y (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

단계 3.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} + y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]))$

단계 3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]))$

단계 3.5

$y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y^{2}$ 입니다.

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 x + 0))$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 x))$

단계 3.6.2

${(x^{2} + y^{2})}^{- 2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y (2 \cdot {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} x)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$y (2 \frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} x)$

단계 4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$y (\frac{2}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} x)$

단계 4.2.2

$\frac{2}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y \frac{2 x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

단계 4.2.3

$y$ 와 $\frac{2 x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{y (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

단계 4.2.4

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 y x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

단계 4.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 x y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$