미적분 예제

$\int_{0}^{a} \frac{x^{3}}{\sqrt{a^{4} + x^{4}}} d x$

단계 1

먼저 $u = a^{4} + x^{4}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 4 x^{3} d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = a^{4} + x^{4}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$a^{4} + x^{4}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [a^{4} + x^{4}]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $a^{4} + x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [a^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [a^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 1.1.3

$a^{4}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $a^{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $a^{4}$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 1.1.4

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 4 x^{3}$

단계 1.1.5

$0$ 를 $4 x^{3}$ 에 더합니다.

$4 x^{3}$

단계 1.2

$u = a^{4} + x^{4}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = a^{4} + 0^{4}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = a^{4} + 0$

단계 1.3.2

$a^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{lower} = a^{4}$

단계 1.4

$u = a^{4} + x^{4}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = a^{4} + a^{4}$

단계 1.5

$a^{4}$ 를 $a^{4}$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 2 a^{4}$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = a^{4}$

$u_{upper} = 2 a^{4}$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

단계 2.2

$\sqrt{u}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

단계 3

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 4.2

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

단계 4.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

단계 4.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 4.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{a^{4}}^{2 a^{4}}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.1

$2 a^{4}$ , $a^{4}$ 일 때, $2 u^{\frac{1}{2}}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{4} ((2 {(2 a^{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$2 a^{4}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} (2 {(2 (a^{4}))}^{\frac{1}{2}} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.2

$2 (a^{4})$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} {(a^{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.3

${(a^{4})}^{\frac{1}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 6.2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{4 (\frac{1}{2})}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.3.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2 (2) \frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.4

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2} + 1} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.6

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1 + 2}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.8

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.9

${(a^{4})}^{\frac{1}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 6.2.9.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{4 (\frac{1}{2})})$

단계 6.2.9.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.9.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2 (2) \frac{1}{2}})$

단계 6.2.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}})$

단계 6.2.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2})$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2}) + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

단계 7.2

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2})$ 을 곱합니다.

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단계 7.2.1

$2^{\frac{3}{2}}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{4} a^{2} + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

단계 7.2.2

$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{4}$ 와 $a^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

단계 7.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.3.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (- 2 a^{2})$

단계 7.3.2

$- 2 a^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- a^{2}))$

단계 7.3.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- a^{2}))$

단계 7.3.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2} (- a^{2})$

단계 7.4

$\frac{1}{2}$ 와 $a^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{2}$