미적분 예제

$y = \sec^{2} (x)$ , $y = 8 \cos (x)$ , $- \frac{π}{3} \leq x \leq \frac{π}{3}$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$

단계 1.2

$\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ 의 각 항을 $\sec^{2} (x)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

$\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ 의 각 항을 $\sec^{2} (x)$ 로 나눕니다.

$\frac{\sec^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

단계 1.2.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.2.1

$\sec^{2} (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sec^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

단계 1.2.1.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$1 = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

단계 1.2.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.3.1

$\sec^{2} (x)$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

$1 = \frac{8 \cos (x)}{\sec (x) \sec (x)}$

단계 1.2.1.3.2

분수를 나눕니다.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sec (x)}$

단계 1.2.1.3.3

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)}}$

단계 1.2.1.3.4

$\frac{1}{\cos (x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos (x) \cos (x))$

단계 1.2.1.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.3.5.1

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos^{1} (x) \cos (x))$

단계 1.2.1.3.5.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

단계 1.2.1.3.5.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} {\cos (x)}^{1 + 1}$

단계 1.2.1.3.5.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cos^{2} (x)$

단계 1.2.1.3.6

분수를 나눕니다.

$1 = \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)} \cos^{2} (x)$

단계 1.2.1.3.7

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$1 = \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \cos^{2} (x)$

단계 1.2.1.3.8

$\frac{1}{\cos (x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$1 = \frac{8}{1} (1 \cos (x)) \cos^{2} (x)$

단계 1.2.1.3.9

$\cos (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 = \frac{8}{1} \cos (x) \cos^{2} (x)$

단계 1.2.1.3.10

지수를 더하여 $\cos (x)$ 에 $\cos^{2} (x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.3.10.1

$\cos^{2} (x)$ 를 옮깁니다.

$1 = \frac{8}{1} (\cos^{2} (x) \cos (x))$

단계 1.2.1.3.10.2

$\cos^{2} (x)$ 에 $\cos (x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.3.10.2.1

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$1 = \frac{8}{1} (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x))$

단계 1.2.1.3.10.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$1 = \frac{8}{1} {\cos (x)}^{2 + 1}$

단계 1.2.1.3.10.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1 = \frac{8}{1} \cos^{3} (x)$

단계 1.2.1.3.11

$8$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 = 8 \cos^{3} (x)$

단계 1.2.2

$8 \cos^{3} (x) = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$8 \cos^{3} (x) = 1$

단계 1.2.3

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$8 \cos^{3} (x) - 1 = 0$

단계 1.2.4

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$8 \cos^{3} (x)$ 을 ${(2 \cos (x))}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

${(2 \cos (x))}^{3} - 1 = 0$

단계 1.2.4.2

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

${(2 \cos (x))}^{3} - 1^{3} = 0$

단계 1.2.4.3

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 2 \cos (x)$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$(2 \cos (x) - 1) ({(2 \cos (x))}^{2} + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

단계 1.2.4.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.4.1

$2 \cos (x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$(2 \cos (x) - 1) (2^{2} \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

단계 1.2.4.4.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

단계 1.2.4.4.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1^{2}) = 0$

단계 1.2.4.4.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1) = 0$

단계 1.2.5

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$2 \cos (x) - 1 = 0$

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0 + y = 8 \cos (x)$

단계 1.2.6

$2 \cos (x) - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $\cos (x)$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$2 \cos (x) - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 \cos (x) - 1 = 0$

단계 1.2.6.2

$2 \cos (x) - 1 = 0$ 을 $\cos (x)$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$2 \cos (x) = 1$

단계 1.2.6.2.2

$2 \cos (x) = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.2.1

$2 \cos (x) = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

단계 1.2.6.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

단계 1.2.6.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

단계 1.2.7

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $\cos (x)$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.1

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$

단계 1.2.7.2

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$ 을 $\cos (x)$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 8 \cos (x)$

단계 1.2.7.2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 4$ , $b = 2$ , $c = 1$ 을 대입하여 $\cos (x)$ 를 구합니다.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4} + y = 8 \cos (x)$

단계 1.2.7.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.2.3.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.3.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.3.1.2.2

$- 16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.3.1.3

$4$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.3.1.4

$- 12$ 을 $- 1 (12)$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.3.1.7

$12$ 을 $2^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.2.3.1.7.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.3.1.7.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.3.1.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.3.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.3.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

단계 1.2.7.2.3.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ 을 간단히 합니다.

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

단계 1.2.7.2.4

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.2.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.2.4.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.4.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.2.4.1.2.1

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.4.1.2.2

$- 16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.4.1.3

$4$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.4.1.4

$- 12$ 을 $- 1 (12)$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.4.1.7

$12$ 을 $2^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.2.4.1.7.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.4.1.7.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.4.1.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.4.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.4.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

단계 1.2.7.2.4.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ 을 간단히 합니다.

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

단계 1.2.7.2.4.4

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$\cos (x) = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{4}$

단계 1.2.7.2.4.5

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{4}$

단계 1.2.7.2.4.6

$i \sqrt{3}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{4}$

단계 1.2.7.2.4.7

$- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\cos (x) = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{4}$

단계 1.2.7.2.4.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

단계 1.2.7.2.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.2.5.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.5.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.2.5.1.2.1

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.5.1.2.2

$- 16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.5.1.3

$4$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.5.1.4

$- 12$ 을 $- 1 (12)$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.5.1.7

$12$ 을 $2^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.2.5.1.7.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.5.1.7.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.5.1.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.5.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.7.2.5.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

단계 1.2.7.2.5.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ 을 간단히 합니다.

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

단계 1.2.7.2.5.4

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$\cos (x) = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{4}$

단계 1.2.7.2.5.5

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{4}$

단계 1.2.7.2.5.6

$- i \sqrt{3}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{4}$

단계 1.2.7.2.5.7

$- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\cos (x) = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{4}$

단계 1.2.7.2.5.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

단계 1.2.7.2.6

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

단계 1.2.8

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

단계 1.2.9

각 식에 대하여 $x$ 를 구합니다.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

$\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4} + y = 8 \cos (x)$

단계 1.2.10

$\cos (x) = \frac{1}{2}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.10.1

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

단계 1.2.10.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.10.2.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{3}$ 입니다.

$x = \frac{π}{3}$

단계 1.2.10.3

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

단계 1.2.10.4

$2 π - \frac{π}{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.10.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

단계 1.2.10.4.2

분수를 통분합니다.

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단계 1.2.10.4.2.1

$2 π$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

단계 1.2.10.4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

단계 1.2.10.4.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.2.10.4.3.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 π - π}{3}$

단계 1.2.10.4.3.2

$6 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{5 π}{3}$

단계 1.2.10.5

$\cos (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 1.2.10.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 1.2.10.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 1.2.10.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 1.2.10.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 1.2.10.6

함수 $\cos (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$

단계 1.2.11

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.11.1

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4})$

단계 1.2.11.2

$\arccos (- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4})$ 의 역코사인이 정의되지 않습니다.

$Undefined + y = 8 \cos (x)$

단계 1.2.12

$\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.12.1

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4})$

단계 1.2.12.2

$\arccos (- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4})$ 의 역코사인이 정의되지 않습니다.

$Undefined + y = 8 \cos (x)$

단계 1.2.13

모든 해를 나열합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$

단계 1.3

$x = \frac{π}{3} + 2 π n$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$x$ 에 $\frac{π}{3} + 2 π n$ 를 대입합니다.

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

단계 1.3.2

괄호를 제거합니다.

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

단계 1.4

$x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$x$ 에 $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ 를 대입합니다.

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

단계 1.4.2

괄호를 제거합니다.

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

단계 1.5

모든 해를 나열합니다.

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

단계 2

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) d x - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

단계 3

$- \frac{π}{3}$ 과(와) $\frac{π}{3}$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

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단계 3.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - (\sec^{2} (x)) d x$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$8 \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

단계 3.2.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$8 \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.2.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$8 \cos (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)} d x$

단계 3.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$8 \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.3.2

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ 을 ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$8 \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

단계 3.3.3

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$8 \cos (x) - \sec^{2} (x)$

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - \sec^{2} (x) d x$

단계 3.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

단계 3.5

$8$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$8 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

단계 3.6

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\sin (x)$ 입니다.

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

단계 3.7

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

단계 3.8

$\tan (x)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (x)$ 이므로, $\sec^{2} (x)$ 의 적분값은 $\tan (x)$ 이 됩니다.

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) - (\tan (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}})$

단계 3.9

답을 간단히 합니다.

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단계 3.9.1

대입하여 간단히 합니다.

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단계 3.9.1.1

$\frac{π}{3}$ , $- \frac{π}{3}$ 일 때, $\sin (x)$ 값을 계산합니다.

$8 ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}})$

단계 3.9.1.2

$\frac{π}{3}$ , $- \frac{π}{3}$ 일 때, $\tan (x)$ 값을 계산합니다.

$8 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (\frac{π}{3}) - \tan (- \frac{π}{3}))$

단계 3.9.2

간단히 합니다.

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단계 3.9.2.1

$\sin (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (\frac{π}{3}) - \tan (- \frac{π}{3}))$

단계 3.9.2.2

$\tan (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\sqrt{3}$ 입니다.

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

단계 3.9.3

간단히 합니다.

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단계 3.9.3.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 더합니다.

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{5 π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

단계 3.9.3.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \sin (\frac{π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

단계 3.9.3.3

$\sin (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

단계 3.9.3.4

$- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.9.3.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

단계 3.9.3.4.2

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

단계 3.9.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$8 \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

단계 3.9.3.6

$\sqrt{3}$ 를 $\sqrt{3}$ 에 더합니다.

$8 \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

단계 3.9.3.7

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.9.3.7.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (4) \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

단계 3.9.3.7.2

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot 4 \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

단계 3.9.3.7.3

수식을 다시 씁니다.

$4 (2 \sqrt{3}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

단계 3.9.3.8

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

단계 3.9.3.9

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 더합니다.

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - \tan (\frac{5 π}{3}))$

단계 3.9.3.10

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 탄젠트가 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - - \tan (\frac{π}{3}))$

단계 3.9.3.11

$\tan (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\sqrt{3}$ 입니다.

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - - \sqrt{3})$

단계 3.9.3.12

$- - \sqrt{3}$ 을 곱합니다.

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단계 3.9.3.12.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} + 1 \sqrt{3})$

단계 3.9.3.12.2

$\sqrt{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} + \sqrt{3})$

단계 3.9.3.13

$\sqrt{3}$ 를 $\sqrt{3}$ 에 더합니다.

$8 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3})$

단계 3.9.3.14

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$8 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

단계 3.9.3.15

$8 \sqrt{3}$ 에서 $2 \sqrt{3}$ 을 뺍니다.

$6 \sqrt{3}$

단계 4

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$6 \sqrt{3}$

소수 형태:

$10.39230484 \dots$

단계 5