미적분 예제

$x^{2} + \frac{1}{x} + x y + \frac{1}{y} + y^{2}$

단계 1

미분합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + \frac{1}{x} + x y + \frac{1}{y} + y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.2

$x^{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x^{2}$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.3

$\frac{1}{x}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $\frac{1}{x}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 2

$\frac{d}{d y} [x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $x y$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$0 + 0 + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 0 + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 2.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 0 + x + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 3

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{y}$ 을 $y^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$0 + 0 + x + \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 0 + x - y^{- 2} + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 0 + x - y^{- 2} + 2 y$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$0 + 0 + x - \frac{1}{y^{2}} + 2 y$

단계 5.2

항을 묶습니다.

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단계 5.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 + x - \frac{1}{y^{2}} + 2 y$

단계 5.2.2

$0$ 를 $x$ 에 더합니다.

$x - \frac{1}{y^{2}} + 2 y$

단계 5.3

항을 다시 정렬합니다.

$x + 2 y - \frac{1}{y^{2}}$