미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}} d x$

단계 3

먼저 $u = 2 x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.1

$u = 2 x - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$2 x - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

단계 3.1.2

합의 법칙에 의해 $2 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 3.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 3.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 3.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 3.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.4.1

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$2 + 0$

단계 3.1.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 3.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

단계 4.2

$\sqrt{u}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 6

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 6.2

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

단계 6.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 6.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

단계 6.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 6.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ 을 $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

단계 8.2

간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

단계 8.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

단계 8.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 u^{\frac{1}{2}} + C$

단계 8.2.3

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u^{\frac{1}{2}} + C$

단계 9

$u$ 를 모두 $2 x - 1$ 로 바꿉니다.

${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + C$

단계 10

답은 함수 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + C$