미적분 예제

$x y = 8$ , $x = 1$ and $x = 5$

단계 1

입체의 부피를 구하려면, 먼저 조각으로 나누어진 각 부분의 넓이를 정의하고 전체 영역에 대해 적분합니다. 각 부분의 넓이는 원의 넓이, $A = π r^{2}$ 이며 여기에서 반지름은 $f (x)$ 입니다.

$f (x) = \frac{8}{x}$ 일 때 $V = π \int_{1}^{5} {(f (x))}^{2} d x$ 입니다

단계 2

피적분함수를 간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{8}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$V = \frac{8^{2}}{x^{2}}$

단계 2.2

$8$ 를 $2$ 승 합니다.

$V = \frac{64}{x^{2}}$

단계 3

$64$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $64$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$V = π (64 \int_{1}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x)$

단계 4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$π$ 의 왼쪽으로 $64$ 이동하기

$V = 64 π \int_{1}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 4.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 4.2.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$V = 64 π \int_{1}^{5} {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 4.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$V = 64 π \int_{1}^{5} x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 4.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$V = 64 π \int_{1}^{5} x^{- 2} d x$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$V = 64 π - x^{- 1}]_{1}^{5}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.1

$5$ , $1$ 일 때, $- x^{- 1}$ 값을 계산합니다.

$V = 64 π ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$V = 64 π (- \frac{1}{5} + 1^{- 1})$

단계 6.2.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$V = 64 π (- \frac{1}{5} + 1)$

단계 6.2.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$V = 64 π (- \frac{1}{5} + \frac{5}{5})$

단계 6.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$V = 64 π (\frac{- 1 + 5}{5})$

단계 6.2.5

$- 1$ 를 $5$ 에 더합니다.

$V = 64 π (\frac{4}{5})$

단계 6.2.6

$\frac{4}{5}$ 와 $64$ 을 묶습니다.

$V = \frac{4 \cdot 64}{5} \cdot π$

단계 6.2.7

$4$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$V = \frac{256}{5} \cdot π$

단계 6.2.8

$\frac{256}{5}$ 와 $π$ 을 묶습니다.

$V = \frac{256 π}{5}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$V = \frac{256 π}{5}$

소수 형태:

$V = 160.84954386 \dots$

단계 8