미적분 예제

$f (x) = 3 x^{2} + \frac{2}{3} x^{- 3} + \frac{2}{3} x^{3} - x^{- 1}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} + \frac{2}{3} x^{- 3} + \frac{2}{3} x^{3} - x^{- 1}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

단계 1.2.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$\frac{2}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2}{3} x^{- 3}$ 의 미분은 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ 입니다.

$6 x + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

단계 1.3.2

$n = - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x + \frac{2}{3} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

단계 1.3.3

$- 3$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$6 x + \frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

단계 1.3.4

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 x + \frac{- 6}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

단계 1.3.5

$\frac{- 6}{3}$ 와 $x^{- 4}$ 을 묶습니다.

$6 x + \frac{- 6 x^{- 4}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

단계 1.3.6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 4}$ 를 분모로 이동합니다.

$6 x + \frac{- 6}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

단계 1.3.7

$- 6$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.7.1

$- 6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$6 x + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

단계 1.3.7.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.7.2.1

$3 x^{4}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$6 x + \frac{3 \cdot - 2}{3 (x^{4})} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

단계 1.3.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$6 x + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

단계 1.3.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$6 x + \frac{- 2}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

단계 1.3.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$\frac{2}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2}{3} x^{3}$ 의 미분은 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

단계 1.4.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

단계 1.4.3

$3$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

단계 1.4.4

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

단계 1.4.5

$\frac{6}{3}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

단계 1.4.6

$6$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.4.6.1

$6 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

단계 1.4.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.4.6.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

단계 1.4.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

단계 1.4.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

단계 1.4.6.2.4

$2 x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

단계 1.5

$\frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.5.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{- 1}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ 입니다.

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 1.5.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} - - x^{- 2}$

단계 1.5.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} + 1 x^{- 2}$

단계 1.5.4

$x^{- 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} + x^{- 2}$

단계 1.6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$

단계 1.7

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 2 x^{2} + 6 x + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{2} + 6 x + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

단계 2.2.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

단계 2.3.3

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 x + 6 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 x + 6 + \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

단계 2.4.2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$4 x + 6 + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

단계 2.4.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x + 6 - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

단계 2.4.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$4 x + 6 - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

단계 2.4.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x + 6 - {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

단계 2.4.4

${(x^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.4.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 x + 6 - x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

단계 2.4.4.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$4 x + 6 - x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

단계 2.4.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 x + 6 - 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

단계 2.4.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 x + 6 - 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

단계 2.4.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 x + 6 - 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

단계 2.4.8

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

단계 2.5

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.5.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{2}{x^{4}}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ 입니다.

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 2.5.2

$\frac{1}{x^{4}}$ 을 ${(x^{4})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

단계 2.5.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 2.5.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 2.5.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 2.5.4

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

단계 2.5.5

${(x^{4})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

단계 2.5.5.2

$4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

단계 2.5.6

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

단계 2.5.7

지수를 더하여 $x^{- 8}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.7.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

단계 2.5.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- 4 x^{3 - 8})$

단계 2.5.7.3

$3$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- 4 x^{- 5})$

단계 2.5.8

$- 4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} + 8 x^{- 5}$

단계 2.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$4 x + 6 - 2 \frac{1}{x^{3}} + 8 x^{- 5}$

단계 2.6.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$4 x + 6 - 2 \frac{1}{x^{3}} + 8 \frac{1}{x^{5}}$

단계 2.6.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.3.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$4 x + 6 + \frac{- 2}{x^{3}} + 8 \frac{1}{x^{5}}$

단계 2.6.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$4 x + 6 - \frac{2}{x^{3}} + 8 \frac{1}{x^{5}}$

단계 2.6.3.3

$8$ 와 $\frac{1}{x^{5}}$ 을 묶습니다.

$4 x + 6 - \frac{2}{x^{3}} + \frac{8}{x^{5}}$

단계 2.6.4

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = 4 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{8}{x^{5}} + 6$

단계 3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $4 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{8}{x^{5}} + 6$ 입니다.

$4 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{8}{x^{5}} + 6$