미적분 예제

${(x^{2} + 1)}^{3}$

단계 1

${(x^{2} + 1)}^{3}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = {(x^{2} + 1)}^{3}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int {(x^{2} + 1)}^{3} d x$

단계 4

${(x^{2} + 1)}^{3}$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

이항정리 이용

$\int {(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

단계 4.2

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int x^{2} {(x^{2})}^{2} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

단계 4.3

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

단계 4.4

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

단계 4.5

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1^{3} d x$

단계 4.6

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot 1^{2} d x$

단계 4.7

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1) d x$

단계 4.8

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 1 x^{2} + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1) d x$

단계 4.9

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1) d x$

단계 4.10

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot (1 \cdot 1) d x$

단계 4.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x^{2 + 2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

단계 4.12

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int x^{4} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

단계 4.13

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x^{4 + 2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

단계 4.14

$4$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int x^{6} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

단계 4.15

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int x^{6} + 3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

단계 4.16

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x^{6} + 3 x^{2 + 2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

단계 4.17

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

단계 4.18

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

단계 4.19

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

단계 4.20

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

단계 4.21

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1 d x$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int x^{6} d x + \int 3 x^{4} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $x^{6}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{7} x^{7}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int 3 x^{4} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

단계 7

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 \int x^{4} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} x^{5}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

단계 9

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 \int x^{2} d x + \int d x$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int d x$

단계 11

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + x + C$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

간단히 합니다.

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단계 12.1.1

$\frac{1}{5}$ 와 $x^{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + x + C$

단계 12.1.2

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) + x + C$

단계 12.2

간단히 합니다.

$\frac{x^{7}}{7} + \frac{3 x^{5}}{5} + x^{3} + x + C$

단계 12.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{7} x^{7} + \frac{3}{5} x^{5} + x^{3} + x + C$

단계 13

답은 함수 $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{3}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{3}{5} x^{5} + x^{3} + x + C$