미적분 예제

$\int_{100}^{\infty} \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

단계 1

$t$ 이 $\infty$ 에 가까워짐에 따라 적분을 극한값으로 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{100}^{t} \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

단계 2

먼저 $u = 1 + x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = 1 + x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$1 + x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

단계 2.1.2

합의 법칙에 의해 $1 + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 2 x$

단계 2.1.5

$0$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 2.2

$u = 1 + x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1 + 100^{2}$

단계 2.3

간단히 합니다.

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단계 2.3.1

$100$ 를 $2$ 승 합니다.

$u_{lower} = 1 + 10000$

단계 2.3.2

$1$ 를 $10000$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 10001$

단계 2.4

$u = 1 + x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

단계 2.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 10001$

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

단계 2.6

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

단계 3.2

$\sqrt{u}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$lim_{t \to \infty} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 5

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 5.2

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

단계 5.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

단계 5.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 5.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{10001}^{1 + t^{2}}$

단계 7

$\frac{1}{2}$ 와 $2 u^{\frac{1}{2}}]_{10001}^{1 + t^{2}}$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 u^{\frac{1}{2}}]_{10001}^{1 + t^{2}}}{2}$

단계 8

대입하여 간단히 합니다.

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단계 8.1

$1 + t^{2}$ , $10001$ 일 때, $2 u^{\frac{1}{2}}$ 값을 계산합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{(2 {(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 10001^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 8.2

간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$2 {(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 10001^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 8.2.2

$- 2 \cdot 10001^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- 10001^{\frac{1}{2}})}{2}$

단계 8.2.3

$2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- 10001^{\frac{1}{2}})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}})}{2}$

단계 8.2.4

공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.4.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

단계 8.2.4.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

단계 8.2.4.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{{(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}}}{1}$

단계 8.2.4.4

${(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{t \to \infty} {(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}}$

단계 9

극한값을 계산합니다.

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단계 9.1

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{t \to \infty} {(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 10001^{\frac{1}{2}}$

단계 9.2

${(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 을 $\sqrt{1 + t^{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \sqrt{1 + t^{2}} - lim_{t \to \infty} 10001^{\frac{1}{2}}$

단계 9.3

$t$ 이(가) 근에 대해 $\infty$ 에 접근함에 따라 값은 $\infty$ (으)로 이동합니다.

$\infty - lim_{t \to \infty} 10001^{\frac{1}{2}}$

단계 9.4

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $10001^{\frac{1}{2}}$ 의 극한을 구합니다.

$\infty - 10001^{\frac{1}{2}}$

단계 9.5

무한대 더하기 또는 빼기 숫자는 무한대입니다.

$\infty$