미적분 예제

$\int_{- 1}^{1} \frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{x + 2} d x$

단계 1

$3 x^{2} + 2 x + 1$ 을 $x + 2$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$2$

$3 x^{2}$

$2 x$

$1$

단계 1.2

피제수 $3 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$3 x$
	$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$

단계 1.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$3 x^{2}$	+	$6 x$

단계 1.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $3 x^{2} + 6 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$

단계 1.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$

단계 1.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$

단계 1.7

피제수 $- 4 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$

단계 1.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$8$

단계 1.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 4 x - 8$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	+	$8$

단계 1.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	+	$8$
							+	$9$

단계 1.11

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int_{- 1}^{1} 3 x - 4 + \frac{9}{x + 2} d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 1}^{1} 3 x d x + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

단계 3

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

단계 6

상수 규칙을 적용합니다.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

단계 7

$9$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $9$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{x + 2} d x$

단계 8

먼저 $u = x + 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$u = x + 2$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$x + 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 8.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 8.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

단계 8.1.4

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$1 + 0$

단계 8.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 8.2

$u = x + 2$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - 1 + 2$

단계 8.3

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 8.4

$u = x + 2$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1 + 2$

단계 8.5

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 3$

단계 8.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

단계 8.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 \int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u$

단계 9

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

단계 10

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$1$ , $- 1$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

단계 10.2

$1$ , $- 1$ 일 때, $- 4 x$ 값을 계산합니다.

$3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

단계 10.3

$3$ , $1$ 일 때, $\ln (| u |)$ 값을 계산합니다.

$3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 10.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 10.4.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 10.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$3 \frac{1 - 1}{2} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 10.4.4

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$3 (\frac{0}{2}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 10.4.5

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.5.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$3 \frac{2 (0)}{2} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 10.4.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.5.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$3 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 10.4.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$3 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 10.4.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$3 (\frac{0}{1}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 10.4.5.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 \cdot 0 - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 10.4.6

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 10.4.7

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 4 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 10.4.8

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - 4 - 4 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 10.4.9

$- 4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$0 - 8 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 10.4.10

$0$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$- 8 + 9 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

단계 11

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$- 8 + 9 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

단계 12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $3$ 사이의 거리는 $3$ 입니다.

$- 8 + 9 \ln (\frac{3}{| 1 |})$

단계 12.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$- 8 + 9 \ln (\frac{3}{1})$

단계 12.3

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 8 + 9 \ln (3)$

단계 13

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- 8 + 9 \ln (3)$

소수 형태:

$1.88751059 \dots$

단계 14