미적분 예제

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{e^{1 - x}}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2}}{lim_{x \to - \infty} e^{1 - x}}$

단계 1.2

최고차항 계수가 양수인 짝수 차수의 다항식에 대한 음의 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} e^{1 - x}}$

단계 1.3

지수 $1 - x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{1 - x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{e^{1 - x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{1 - x}]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{1 - x}]}$

단계 3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{1 - x}]}$

단계 3.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 1 - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 - x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - x]}$

단계 3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [1 - x]}$

단계 3.3.3

$u$ 를 모두 $1 - x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} \frac{d}{d x} [1 - x]}$

단계 3.4

합의 법칙에 의해 $1 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}$

단계 3.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}$

단계 3.6

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} \frac{d}{d x} [- x]}$

단계 3.7

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} (- \frac{d}{d x} [x])}$

단계 3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} (- 1 \cdot 1)}$

단계 3.9

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} \cdot - 1}$

단계 3.10

$e^{1 - x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- 1 e^{1 - x}}$

단계 3.11

$- 1 e^{1 - x}$ 을 $- e^{1 - x}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- e^{1 - x}}$

단계 4

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{- e^{1 - x}}$

단계 5

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 5.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 5.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} - e^{1 - x}}$

단계 5.1.2

최고차항이 양수인 홀수 차수의 다항식에 대한 음의 무한대에서의 극한값은 음의 무한대입니다.

$2 \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} - e^{1 - x}}$

단계 5.1.3

$e^{1 - x}$ 함수가 $\infty$ 에 접근하므로, 음수 상수 $- 1$ 배 함수는 $- \infty$ 에 근접합니다.

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단계 5.1.3.1

상수 배수 $- 1$ 이(가) 제거된 극한을 고려해야 합니다.

$2 \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{1 - x}}$

단계 5.1.3.2

지수 $1 - x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{1 - x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$2 \frac{- \infty}{\infty}$

단계 5.1.3.3

$e^{1 - x}$ 함수가 $\infty$ 에 접근하므로, 음수 상수 $- 1$ 배 함수는 $- \infty$ 에 근접합니다.

$2 \frac{- \infty}{- \infty}$

단계 5.1.3.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$2 \frac{- \infty}{- \infty}$

단계 5.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$2 \frac{- \infty}{- \infty}$

단계 5.2

$\frac{- \infty}{- \infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{- e^{1 - x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [- e^{1 - x}]}$

단계 5.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 5.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [- e^{1 - x}]}$

단계 5.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [- e^{1 - x}]}$

단계 5.3.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- e^{1 - x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [e^{1 - x}]$ 입니다.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \frac{d}{d x} [e^{1 - x}]}$

단계 5.3.4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 1 - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 - x$ 로 바꿉니다.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - x]}$

단계 5.3.4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{u} \frac{d}{d x} [1 - x]}$

단계 5.3.4.3

$u$ 를 모두 $1 - x$ 로 바꿉니다.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{1 - x} \frac{d}{d x} [1 - x]}$

단계 5.3.5

합의 법칙에 의해 $1 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{1 - x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}$

단계 5.3.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{1 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}$

단계 5.3.7

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{1 - x} \frac{d}{d x} [- x]}$

단계 5.3.8

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{1 - x} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}$

단계 5.3.9

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{1 e^{1 - x} \frac{d}{d x} [x]}$

단계 5.3.10

$e^{1 - x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{1 - x} \frac{d}{d x} [x]}$

단계 5.3.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{1 - x} \cdot 1}$

단계 5.3.12

$e^{1 - x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{1 - x}}$

단계 6

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{e^{1 - x}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$2 \cdot 0$

단계 7

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$