미적분 예제

$\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{1 + t^{3}} d t$

단계 1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{1^{3} + t^{3}} d t]$

단계 1.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 합 공식 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = t$ 입니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1^{2} - 1 t + t^{2})} d t]$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1 - 1 t + t^{2})} d t]$

단계 1.3.2

$- 1 t$ 을 $- t$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t]$

단계 2

미적분학의 기본정리와 연쇄법칙에 의해 $x$ 에 대해 $\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x + 2] \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

단계 3

합의 법칙에 의해 $3 x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$(\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

단계 4

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

단계 4.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(3 + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

단계 5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$(3 + 0) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

단계 5.2

분수를 통분합니다.

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단계 5.2.1

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

단계 5.2.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$3 \frac{3 x + 2}{(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

단계 5.2.3

$3$ 와 $\frac{3 x + 2}{(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 (3 x + 2)}{(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

단계 6

공약수로 약분합니다.

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단계 6.1

$(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (3 x + 2)}{3 ((x + 1) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2}))}$

단계 6.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (3 x + 2)}{3 ((x + 1) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2}))}$

단계 6.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - (3 x) - 1 \cdot 2 + {(3 x + 2)}^{2})}$

단계 7.2

항을 묶습니다.

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단계 7.2.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - 3 x - 1 \cdot 2 + {(3 x + 2)}^{2})}$

단계 7.2.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - 3 x - 2 + {(3 x + 2)}^{2})}$

단계 7.2.3

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (- 3 x - 1 + {(3 x + 2)}^{2})}$

단계 7.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + {(3 x + 2)}^{2}) (x + 1)}$

단계 7.4

분모를 간단히 합니다.

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단계 7.4.1

${(3 x + 2)}^{2}$ 을 $(3 x + 2) (3 x + 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + (3 x + 2) (3 x + 2)) (x + 1)}$

단계 7.4.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(3 x + 2) (3 x + 2)$ 를 전개합니다.

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단계 7.4.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 x (3 x + 2) + 2 (3 x + 2)) (x + 1)}$

단계 7.4.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x + 2)) (x + 1)}$

단계 7.4.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

단계 7.4.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 7.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.4.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

단계 7.4.3.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 7.4.3.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

단계 7.4.3.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

단계 7.4.3.1.3

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

단계 7.4.3.1.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 6 x + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

단계 7.4.3.1.5

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 6 x + 6 x + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

단계 7.4.3.1.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 6 x + 6 x + 4) (x + 1)}$

단계 7.4.3.2

$6 x$ 를 $6 x$ 에 더합니다.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 12 x + 4) (x + 1)}$

단계 7.4.4

$- 3 x$ 를 $12 x$ 에 더합니다.

$\frac{3 x + 2}{(9 x - 1 + 9 x^{2} + 4) (x + 1)}$

단계 7.4.5

$- 1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{3 x + 2}{(9 x + 9 x^{2} + 3) (x + 1)}$

단계 7.4.6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{3 x + 2}{(9 x^{2} + 9 x + 3) (x + 1)}$

단계 7.4.7

$9 x^{2} + 9 x + 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.4.7.1

$9 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2}) + 9 x + 3) (x + 1)}$

단계 7.4.7.2

$9 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2}) + 3 (3 x) + 3) (x + 1)}$

단계 7.4.7.3

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2}) + 3 (3 x) + 3 (1)) (x + 1)}$

단계 7.4.7.4

$3 (3 x^{2}) + 3 (3 x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2} + 3 x) + 3 (1)) (x + 1)}$

단계 7.4.7.5

$3 (3 x^{2} + 3 x) + 3 (1)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x + 2}{3 (3 x^{2} + 3 x + 1) (x + 1)}$