미적분 예제

$\arctan (x^{2} + 1)$

단계 1

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 1.2

$\arctan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} (2 x + 0)$

단계 2.4

분수를 통분합니다.

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단계 2.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} (2 x)$

단계 2.4.2

$2$ 와 $\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} x$

단계 2.4.3

$\frac{2}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2} + 1}$

단계 3.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

${(x^{2} + 1)}^{2}$ 을 $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + 1}$

단계 3.2.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ 를 전개합니다.

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단계 3.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x}{x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1) + 1}$

단계 3.2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1) + 1}$

단계 3.2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

단계 3.2.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.3.1.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.3.1.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x}{x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

단계 3.2.3.1.1.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 x}{x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

단계 3.2.3.1.2

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x}{x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

단계 3.2.3.1.3

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x}{x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

단계 3.2.3.1.4

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x}{x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 + 1}$

단계 3.2.3.2

$x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{2 x}{x^{4} + 2 x^{2} + 1 + 1}$

단계 3.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 x}{x^{4} + 2 x^{2} + 2}$