미적분 예제

$k e^{- 2 x} - 2 x^{k^{2}}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $k e^{- 2 x} - 2 x^{k^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [k e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [k e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [k e^{- 2 x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$k$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $k e^{- 2 x}$ 의 미분은 $k \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ 입니다.

$k \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

단계 2.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- 2 x$ 로 바꿉니다.

$k (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

단계 2.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$k (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $- 2 x$ 로 바꿉니다.

$k (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

단계 2.3

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$k (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$k (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

단계 2.5

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$k (e^{- 2 x} \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

단계 2.6

$e^{- 2 x}$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$k (- 2 e^{- 2 x}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x^{k^{2}}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{k^{2}}]$ 입니다.

$k (- 2 e^{- 2 x}) - 2 \frac{d}{d x} [x^{k^{2}}]$

단계 3.2

$n = k^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$k (- 2 e^{- 2 x}) - 2 k^{2} x^{k^{2} - 1}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

항을 다시 정렬합니다.

$- 2 e^{- 2 x} k - 2 x^{k^{2} - 1} k^{2}$

단계 4.2

$- 2 e^{- 2 x} k - 2 x^{k^{2} - 1} k^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- 2 k e^{- 2 x} - 2 k^{2} x^{k^{2} - 1}$