미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} \cos^{4} (2 x) d x$

단계 1

먼저 $u_{1} = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u_{1} = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 1.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 1.2

$u_{1} = 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

단계 1.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u_{1} = 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{8}$

단계 1.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

단계 1.5.2

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

단계 1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

단계 1.7

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos^{4} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2

$\cos^{4} (u_{1})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\cos^{4} (u_{1})}{2} d u_{1}$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos^{4} (u_{1}) d u_{1}$

단계 4

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\cos (u_{1})}^{2 (2)} d u_{1}$

단계 4.2

${\cos (u_{1})}^{2 (2)}$ 을 지수 형태로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\cos^{2} (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

단계 5

반각 공식을 이용해 $\cos^{2} (u_{1})$ 를 $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

단계 6

먼저 $u_{2} = 2 u_{1}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 d u_{1}$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$u_{2} = 2 u_{1}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$2 u_{1}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

단계 6.1.2

$2$ 은 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로 $u_{1}$ 에 대한 $2 u_{1}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

단계 6.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 6.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 6.2

$u_{2} = 2 u_{1}$ 의 $u_{1}$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

단계 6.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 6.4

$u_{2} = 2 u_{1}$ 의 $u_{1}$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

단계 6.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

단계 6.5.2

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

단계 6.5.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

단계 6.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

단계 6.7

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\frac{1 + \cos (u_{2})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 7

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\frac{1 + \cos (u_{2})}{2})}^{2} d u_{2})$

단계 8

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\frac{1 + \cos (u_{2})}{2})}^{2} d u_{2}$

단계 8.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\frac{1 + \cos (u_{2})}{2})}^{2} d u_{2}$

단계 8.2

$\frac{1 + \cos (u_{2})}{2}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2})))}^{2} d u_{2}$

단계 8.3

${(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2})))}^{2}$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2}))) d u_{2}$

단계 8.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2}))) d u_{2}$

단계 8.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

단계 8.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

단계 8.3.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

단계 8.3.6

분배 법칙을 적용합니다.

단계 8.3.7