미적분 예제

$y = \frac{\ln (1 - x^{2})}{x - 1}$

단계 1

$f (x) = \ln (1 - x^{2})$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [\ln (1 - x^{2})] - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 1 - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{(x - 1) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $1 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{(x - 1) (\frac{1}{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $1 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 - x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 - x^{2}} (- (2 x)) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.6

분수를 통분합니다.

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단계 3.6.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 - x^{2}} (- 2 x) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.6.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{1 - x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{(x - 1) \frac{- 2}{1 - x^{2}} x - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.6.3

$x$ 와 $\frac{- 2}{1 - x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{(x - 1) \frac{x \cdot - 2}{1 - x^{2}} - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.6.4

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.4.1

$x$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$\frac{(x - 1) \frac{- 2 \cdot x}{1 - x^{2}} - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.6.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1 - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.7

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1 - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1 - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.9

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1 - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2}) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.10

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1 - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2}) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.10.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1 - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.1.1.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1^{2} - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.1.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}) - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (- \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}) - 1 (- \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}) - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- x \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - 1 (- \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}) - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.1.4

$- 1 (- \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)})$ 을 곱합니다.

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단계 4.1.1.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- x \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} + 1 \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.1.4.2

$\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- x \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.1.5

$- x \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}$ 을 곱합니다.

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단계 4.1.1.5.1

$\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{- \frac{2 x \cdot x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.1.5.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- \frac{2 (x^{1} x)}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.1.5.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- \frac{2 (x^{1} x^{1})}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.1.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- \frac{2 x^{1 + 1}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.1.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- \frac{2 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \ln (1 - x^{2})$ 을 표현하기 위해 $\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{2 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2}) \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.3

$- \ln (1 - x^{2})$ 와 $\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{2 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- \ln (1 - x^{2}) ((1 + x) (1 - x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) ((1 + x) (1 - x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) ((1 + x) (1 - x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + x) (1 - x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 (1 - x) + x (1 - x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.6.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.6.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.6.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.1.6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.2.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.6.2.1.2

$- x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.6.2.1.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 - x + x + x (- x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.6.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 - x + x - x \cdot x)}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.6.2.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.2.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 - x + x - (x \cdot x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.6.2.1.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 - x + x - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.6.2.2

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 + 0 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.6.2.3

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) \cdot 1 - \ln (1 - x^{2}) (- x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.6.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) - \ln (1 - x^{2}) (- x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.6.5

$- \ln (1 - x^{2}) (- x^{2})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + 1 \ln (1 - x^{2}) x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.6.5.2

$\ln (1 - x^{2})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + \ln (1 - x^{2}) x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.7

$2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + \ln (1 - x^{2}) x^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.2.1

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.2.2

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$ 에 $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x) {(x - 1)}^{2}}$

단계 4.2.3

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (- 1 (- 1) - x) {(x - 1)}^{2}}$

단계 4.2.4

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (- 1 (- 1) - (x)) {(x - 1)}^{2}}$

단계 4.2.5

$- 1 (- 1) - (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (- 1 (- 1 + x)) {(x - 1)}^{2}}$

단계 4.2.6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) \cdot - 1 (x - 1) {(x - 1)}^{2}}$

단계 4.2.7

지수를 더하여 $x - 1$ 에 ${(x - 1)}^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.7.1

${(x - 1)}^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) \cdot - 1 ({(x - 1)}^{2} (x - 1))}$

단계 4.2.7.2

${(x - 1)}^{2}$ 에 $x - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.7.2.1

$x - 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) \cdot - 1 ({(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{1})}$

단계 4.2.7.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) \cdot - 1 {(x - 1)}^{2 + 1}}$

단계 4.2.7.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) \cdot - 1 {(x - 1)}^{3}}$

단계 4.2.8

$1 + x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{- 1 \cdot (1 + x) {(x - 1)}^{3}}$

단계 4.2.9

$- 1 (1 + x)$ 을 $- (1 + x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{- (1 + x) {(x - 1)}^{3}}$

단계 4.2.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) {(x - 1)}^{3}}$