미적분 예제

$x = \sqrt{\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}}$ 을(를) ${(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d θ} [{(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (θ) = θ^{\frac{1}{2}}$ , $g (θ) = \frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ 일 때 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 는 $f' (g (θ)) g' (θ)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

단계 2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

단계 6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

단계 7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

단계 8

$f (θ) = 1 + \cos (θ)$ , $g (θ) = 1 - \cos (θ)$ 일 때 $\frac{d}{d θ} [\frac{f (θ)}{g (θ)}]$ 는 $\frac{g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)] - f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)]}{{g (θ)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [1 + \cos (θ)] - (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

단계 9

미분합니다.

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단계 9.1

합의 법칙에 의해 $1 + \cos (θ)$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]) - (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

단계 9.2

$1$ 이 $θ$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (0 + \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]) - (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

단계 9.3

$0$ 를 $\frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] - (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

단계 10

$\cos (θ)$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $- \sin (θ)$ 입니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) - (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

단계 11

미분합니다.

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단계 11.1

합의 법칙에 의해 $1 - \cos (θ)$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) - (1 + \cos (θ)) (\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)])}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

단계 11.2

$1$ 이 $θ$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) - (1 + \cos (θ)) (0 + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)])}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

단계 11.3

$0$ 를 $\frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) - (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

단계 11.4

$- 1$ 은 $θ$ 에 대해 일정하므로 $θ$ 에 대한 $- \cos (θ)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ 입니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) - (1 + \cos (θ)) (- \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

단계 11.5

곱합니다.

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단계 11.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + 1 (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

단계 11.5.2

$1 + \cos (θ)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

단계 12

$\cos (θ)$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $- \sin (θ)$ 입니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

단계 13

분수를 통분합니다.

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단계 13.1

$\frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{{(1 - \cos (θ))}^{2} \cdot 2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 13.2

${(1 - \cos (θ))}^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{2 \cdot {(1 - \cos (θ))}^{2}} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 14

간단히 합니다.

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단계 14.1

밑을 역수로 만들어 지수의 부호를 바꿉니다.

$\frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} {(\frac{1 - \cos (θ)}{1 + \cos (θ)})}^{\frac{1}{2}}$

단계 14.2

$\frac{1 - \cos (θ)}{1 + \cos (θ)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

단계 14.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 (- \sin (θ)) - \cos (θ) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

단계 14.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 (- \sin (θ)) - \cos (θ) (- \sin (θ)) + 1 (- \sin (θ)) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

단계 14.5

항을 묶습니다.

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단계 14.5.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1 \sin (θ) - \cos (θ) (- \sin (θ)) + 1 (- \sin (θ)) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

단계 14.5.2

$- 1 \sin (θ)$ 을 $- \sin (θ)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- \sin (θ) - \cos (θ) (- \sin (θ)) + 1 (- \sin (θ)) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

단계 14.5.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- \sin (θ) + 1 \cos (θ) \sin (θ) + 1 (- \sin (θ)) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

단계 14.5.4

$\cos (θ)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- \sin (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + 1 (- \sin (θ)) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

단계 14.5.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- \sin (θ) + \cos (θ) \sin (θ) - 1 \sin (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

단계 14.5.6

$- 1 \sin (θ)$ 을 $- \sin (θ)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- \sin (θ) + \cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

단계 14.5.7

$- \sin (θ)$ 에서 $\sin (θ)$ 을 뺍니다.

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

단계 14.5.8

$\cos (θ) \sin (θ)$ 를 $\cos (θ) (- \sin (θ))$ 에 더합니다.

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단계 14.5.8.1

$\cos (θ)$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - 1 \cdot \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

단계 14.5.8.2

$\cos (θ) \sin (θ)$ 에서 $\cos (θ) \sin (θ)$ 을 뺍니다.

$\frac{0 - 2 \sin (θ)}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

단계 14.5.9

$0$ 에서 $2 \sin (θ)$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 \sin (θ)}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

단계 14.5.10

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 14.5.10.1

$- 2 \sin (θ)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

단계 14.5.10.2

공약수로 약분합니다.

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단계 14.5.10.2.1

$2 {(1 - \cos (θ))}^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- \sin (θ))}{2 ({(1 - \cos (θ))}^{2})} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

단계 14.5.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

단계 14.5.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- \sin (θ)}{{(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

단계 14.5.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

단계 14.5.12

$\frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{\sin (θ)}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} \sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{2}}$

단계 14.5.13

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 ${(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{2} {(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2}}}$

단계 14.5.14

지수를 더하여 ${(1 - \cos (θ))}^{2}$ 에 ${(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 14.5.14.1

${(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} ({(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{2})}$

단계 14.5.14.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2} + 2}}$

단계 14.5.14.3

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

단계 14.5.14.4

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

단계 14.5.14.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

단계 14.5.14.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 14.5.14.6.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

단계 14.5.14.6.2

$- 1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{\frac{3}{2}}}$