미적분 예제

$\int \frac{1}{3 + 4 x^{2}} (8 x) d x$

단계 1

간단히 합니다.

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단계 1.1

$8$ 와 $\frac{1}{3 + 4 x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{8}{3 + 4 x^{2}} \cdot x d x$

단계 1.2

$\frac{8}{3 + 4 x^{2}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\int \frac{8 x}{3 + 4 x^{2}} d x$

단계 2

$8$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$8 \int \frac{x}{3 + 4 x^{2}} d x$

단계 3

먼저 $u = 3 + 4 x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 8 x d x$ 이므로 $\frac{1}{8} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.1

$u = 3 + 4 x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$3 + 4 x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 + 4 x^{2}]$

단계 3.1.2

미분합니다.

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단계 3.1.2.1

합의 법칙에 의해 $3 + 4 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

단계 3.1.2.2

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

단계 3.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 4 (2 x)$

단계 3.1.3.3

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$0 + 8 x$

단계 3.1.4

$0$ 를 $8 x$ 에 더합니다.

$8 x$

단계 3.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$8 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{8}$ 을 곱합니다.

$8 \int \frac{1}{u \cdot 8} d u$

단계 4.2

$u$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$8 \int \frac{1}{8 u} d u$

단계 5

$\frac{1}{8}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{8}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$8 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{8}$ 와 $8$ 을 묶습니다.

$\frac{8}{8} \int \frac{1}{u} d u$

단계 6.2

$8$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{8}{8} \int \frac{1}{u} d u$

단계 6.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 \int \frac{1}{u} d u$

단계 6.3

$\int \frac{1}{u} d u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{u} d u$

단계 7

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\ln (| u |) + C$

단계 8

$u$ 를 모두 $3 + 4 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\ln (| 3 + 4 x^{2} |) + C$