미적분 예제

$y = x^{3} - 15 x$ , $y = x$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$x^{3} - 15 x = x$

단계 1.2

$x^{3} - 15 x = x$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$x^{3} - 15 x - x = 0$

단계 1.2.1.2

$- 15 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$x^{3} - 16 x = 0$

단계 1.2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$x^{3} - 16 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{2} - 16 x = 0$

단계 1.2.2.1.2

$- 16 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 16 = 0$

단계 1.2.2.1.3

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 16$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x^{2} - 16) = 0$

단계 1.2.2.2

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

단계 1.2.2.3

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.3.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 4$ 입니다.

$x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

단계 1.2.2.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x (x + 4) (x - 4) = 0$

단계 1.2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0 + y = x$

단계 1.2.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 1.2.5

$x + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 4 = 0$

단계 1.2.5.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 1.2.6

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 1.2.6.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 1.2.7

$x (x + 4) (x - 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 4, 4$

단계 1.3

$x = 0$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$y = 0$

단계 1.3.2

괄호를 제거합니다.

$y = 0$

단계 1.4

$x = - 4$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x$ 에 $- 4$ 를 대입합니다.

$y = - 4$

단계 1.4.2

괄호를 제거합니다.

$y = - 4$

단계 1.5

$x = 4$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$x$ 에 $4$ 를 대입합니다.

$y = 4$

단계 1.5.2

괄호를 제거합니다.

$y = 4$

단계 1.6

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(0, 0)$

$(- 4, - 4)$

$(4, 4)$

$(0, 0)$

$(- 4, - 4)$

$(4, 4)$

단계 2

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{- 4}^{0} x^{3} - 15 x d x - \int_{- 4}^{0} x d x$

단계 3

$- 4$ 과(와) $0$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{- 4}^{0} x^{3} - 15 x - (x) d x$

단계 3.2

$- 15 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\int_{- 4}^{0} x^{3} - 16 x d x$

단계 3.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 4}^{0} x^{3} d x + \int_{- 4}^{0} - 16 x d x$

단계 3.4

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} + \int_{- 4}^{0} - 16 x d x$

단계 3.5

$- 16$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 16$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 \int_{- 4}^{0} x d x$

단계 3.6

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{0})$

단계 3.7

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0})$

단계 3.7.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.1

$0$ , $- 4$ 일 때, $\frac{1}{4} x^{4}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0})$

단계 3.7.2.2

$0$ , $- 4$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.2

$\frac{1}{4}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.3

$- 4$ 를 $4$ 승 합니다.

$0 - \frac{1}{4} \cdot 256 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.4

$256$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - 256 (\frac{1}{4}) - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.5

$- 256$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{- 256}{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.6

$- 256$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.3.6.1

$- 256$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.3.6.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4 (1)} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4 \cdot 1} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$0 + \frac{- 64}{1} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.6.2.4

$- 64$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$0 - 64 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.7

$0$ 에서 $64$ 을 뺍니다.

$- 64 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.8

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- 64 - 16 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.9

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.3.9.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 64 - 16 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.3.9.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 64 - 16 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$- 64 - 16 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 64 - 16 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.9.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 64 - 16 (0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.10

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 64 - 16 (0 - \frac{16}{2})$

단계 3.7.2.3.11

$16$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.3.11.1

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2})$

단계 3.7.2.3.11.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.3.11.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

단계 3.7.2.3.11.2.2

공약수로 약분합니다.

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

단계 3.7.2.3.11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 64 - 16 (0 - \frac{8}{1})$

단계 3.7.2.3.11.2.4

$8$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 64 - 16 (0 - 1 \cdot 8)$

단계 3.7.2.3.12

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- 64 - 16 (0 - 8)$

단계 3.7.2.3.13

$0$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$- 64 - 16 \cdot - 8$

단계 3.7.2.3.14

$- 16$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$- 64 + 128$

단계 3.7.2.3.15

$- 64$ 를 $128$ 에 더합니다.

$64$

단계 4

$A r e a = \int_{0}^{4} x d x - \int_{0}^{4} x^{3} - 15 x d x$

단계 5

$0$ 과(와) $4$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{0}^{4} x - (x^{3} - 15 x) d x$

단계 5.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x - x^{3} - (- 15 x)$

단계 5.2.2

$- 15$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x - x^{3} + 15 x$

$\int_{0}^{4} x - x^{3} + 15 x d x$

단계 5.3

$x$ 를 $15 x$ 에 더합니다.

$\int_{0}^{4} - x^{3} + 16 x d x$

단계 5.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{4} - x^{3} d x + \int_{0}^{4} 16 x d x$

단계 5.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{0}^{4} x^{3} d x + \int_{0}^{4} 16 x d x$

단계 5.6

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 16 x d x$

단계 5.7

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 16 x d x$

단계 5.8

$16$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $16$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 \int_{0}^{4} x d x$

단계 5.9

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4})$

단계 5.10

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

단계 5.10.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.2.1

$4$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{4}}{4}$ 값을 계산합니다.

$- ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

단계 5.10.2.2

$4$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$- (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 5.10.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.2.3.1

$4$ 를 $4$ 승 합니다.

$- (\frac{256}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 5.10.2.3.2

$256$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.2.3.2.1

$256$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 5.10.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.2.3.2.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 5.10.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 5.10.2.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- (\frac{64}{1} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 5.10.2.3.2.2.4

$64$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- (64 - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 5.10.2.3.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- (64 - \frac{0}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 5.10.2.3.4

$0$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.2.3.4.1

$0$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- (64 - \frac{4 (0)}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 5.10.2.3.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.2.3.4.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 5.10.2.3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$- (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 5.10.2.3.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- (64 - \frac{0}{1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 5.10.2.3.4.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- (64 - 0) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 5.10.2.3.5

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- (64 + 0) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 5.10.2.3.6

$64$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 1 \cdot 64 + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 5.10.2.3.7

$- 1$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$- 64 + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 5.10.2.3.8

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 64 + 16 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 5.10.2.3.9

$16$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.2.3.9.1

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 5.10.2.3.9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.2.3.9.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 5.10.2.3.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 5.10.2.3.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 64 + 16 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 5.10.2.3.9.2.4

$8$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 64 + 16 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

단계 5.10.2.3.10

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- 64 + 16 (8 - \frac{0}{2})$

단계 5.10.2.3.11

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.2.3.11.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

단계 5.10.2.3.11.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.2.3.11.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

단계 5.10.2.3.11.2.2

공약수로 약분합니다.

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

단계 5.10.2.3.11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 64 + 16 (8 - \frac{0}{1})$

단계 5.10.2.3.11.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 64 + 16 (8 - 0)$

단계 5.10.2.3.12

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- 64 + 16 (8 + 0)$

단계 5.10.2.3.13

$8$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 64 + 16 \cdot 8$

단계 5.10.2.3.14

$16$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- 64 + 128$

단계 5.10.2.3.15

$- 64$ 를 $128$ 에 더합니다.

$64$

단계 6

$64$ 를 $64$ 에 더합니다.

$128$

단계 7