미적분 예제

$\int_{0}^{\ln (7)} \frac{e^{x}}{e^{x} + 2} d x$

단계 1

먼저 $u = e^{x} + 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = e^{x} d x$ 이므로 $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = e^{x} + 2$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$e^{x} + 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 2]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $e^{x} + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.1.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.4.1

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$e^{x} + 0$

단계 1.1.4.2

$e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{x}$

단계 1.2

$u = e^{x} + 2$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = e^{0} + 2$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = 1 + 2$

단계 1.3.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 3$

단계 1.4

$u = e^{x} + 2$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = e^{\ln (7)} + 2$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$u_{upper} = 7 + 2$

단계 1.5.2

$7$ 를 $2$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 9$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 9$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{3}^{9} \frac{1}{u} d u$

단계 2

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\ln (| u |)]_{3}^{9}$

단계 3

$9$ , $3$ 일 때, $\ln (| u |)$ 값을 계산합니다.

$\ln (| 9 |) - \ln (| 3 |)$

단계 4

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{| 9 |}{| 3 |})$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $9$ 사이의 거리는 $9$ 입니다.

$\ln (\frac{9}{| 3 |})$

단계 5.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $3$ 사이의 거리는 $3$ 입니다.

$\ln (\frac{9}{3})$

단계 5.3

$9$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$\ln (3)$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\ln (3)$

소수 형태:

$1.09861228 \dots$

단계 7