미적분 예제

$\int_{- 8}^{0} (\frac{y}{8} + \sqrt{y + 9}) d y$

단계 1

괄호를 제거합니다.

$\int_{- 8}^{0} \frac{y}{8} + \sqrt{y + 9} d y$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 8}^{0} \frac{y}{8} d y + \int_{- 8}^{0} \sqrt{y + 9} d y$

단계 3

$\frac{1}{8}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{8}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{8} \int_{- 8}^{0} y d y + \int_{- 8}^{0} \sqrt{y + 9} d y$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \int_{- 8}^{0} \sqrt{y + 9} d y$

단계 5

먼저 $u = y + 9$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$u = y + 9$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$y + 9$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y + 9]$

단계 5.1.2

합의 법칙에 의해 $y + 9$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

단계 5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d y} [9]$

단계 5.1.4

$9$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$1 + 0$

단계 5.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 5.2

$u = y + 9$ 의 $y$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - 8 + 9$

단계 5.3

$- 8$ 를 $9$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 5.4

$u = y + 9$ 의 $y$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 0 + 9$

단계 5.5

$0$ 를 $9$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 9$

단계 5.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

단계 5.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u$

단계 6

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

단계 8

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$0$ , $- 8$ 일 때, $\frac{1}{2} y^{2}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{8} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

단계 8.2

$9$ , $1$ 일 때, $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{8} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.2

$\frac{1}{2}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{8} (0 - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.3

$- 8$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{8} (0 - \frac{1}{2} \cdot 64) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.4

$64$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{8} (0 - 64 (\frac{1}{2})) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.5

$- 64$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{8} (0 + \frac{- 64}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.6

$- 64$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.6.1

$- 64$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{8} (0 + \frac{2 \cdot - 32}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.6.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{8} (0 + \frac{2 \cdot - 32}{2 (1)}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{8} (0 + \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 1}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{8} (0 + \frac{- 32}{1}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.6.2.4

$- 32$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{8} (0 - 32) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.7

$0$ 에서 $32$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{8} \cdot - 32 + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.8

$\frac{1}{8}$ 와 $- 32$ 을 묶습니다.

$\frac{- 32}{8} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.9

$- 32$ 및 $8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.9.1

$- 32$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 \cdot - 4}{8} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.9.2.1

$8$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 \cdot - 4}{8 (1)} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{8 \cdot - 4}{8 \cdot 1} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 4}{1} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.9.2.4

$- 4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 4 + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.10

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.11

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.12

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.12.1

공약수로 약분합니다.

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.12.2

수식을 다시 씁니다.

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.13

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.14

$\frac{2}{3}$ 와 $27$ 을 묶습니다.

$- 4 + \frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.15

$2$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$- 4 + \frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.16

$54$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.16.1

$54$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- 4 + \frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.16.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.16.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- 4 + \frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.16.2.2

공약수로 약분합니다.

$- 4 + \frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.16.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 4 + \frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.16.2.4

$18$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 4 + 18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.17

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 4 + 18 - \frac{2}{3} \cdot 1$

단계 8.3.18

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 + 18 - \frac{2}{3}$

단계 8.3.19

공통 분모를 가지는 분수로 $18$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- 4 + 18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

단계 8.3.20

$18$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$- 4 + \frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

단계 8.3.21

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 4 + \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

단계 8.3.22

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.22.1

$18$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 4 + \frac{54 - 2}{3}$

단계 8.3.22.2

$54$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- 4 + \frac{52}{3}$

단계 8.3.23

공통 분모를 가지는 분수로 $- 4$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- 4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{52}{3}$

단계 8.3.24

$- 4$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{52}{3}$

단계 8.3.25

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 4 \cdot 3 + 52}{3}$

단계 8.3.26

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.26.1

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 12 + 52}{3}$

단계 8.3.26.2

$- 12$ 를 $52$ 에 더합니다.

$\frac{40}{3}$

단계 9

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{40}{3}$

소수 형태:

$13.\overline{3}$

대분수 형식:

$13 \frac{1}{3}$

단계 10