미적분 예제

$x^{y} = e^{x - y}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{y}) = \frac{d}{d x} (e^{x - y})$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

$f = x$ , $g = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ 는 $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ 이라는 일반적인 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x] (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

단계 2.2

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

단계 2.2.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$y x^{y - 1} + y' (x^{y} \ln (x))$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$

단계 2.4.2

$x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x - y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

단계 3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $x - y$ 로 바꿉니다.

$e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

단계 3.2

미분합니다.

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단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $x - y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ 가 됩니다.

$e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

단계 3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

단계 3.2.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [y]$ 입니다.

$e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{x - y} (1 - y')$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y' = e^{x - y} (1 - y')$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y'$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} (1 - y')$

단계 5.2

$e^{x - y} (1 - y')$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} \cdot 1 + e^{x - y} (- y')$

단계 5.2.2

식을 간단히 합니다.

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단계 5.2.2.1

$e^{x - y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} + e^{x - y} (- y')$

단계 5.2.2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} - e^{x - y} y'$

단계 5.2.2.3

$e^{x - y} - e^{x - y} y'$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} - y' e^{x - y}$

단계 5.3

방정식의 양변에 $y' e^{x - y}$ 를 더합니다.

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) + y' e^{x - y} = e^{x - y}$

단계 5.4

방정식의 양변에서 $y x^{y - 1}$ 를 뺍니다.

$y' x^{y} \ln (x) + y' e^{x - y} = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

단계 5.5

$y' x^{y} \ln (x) + y' e^{x - y}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.5.1

$y' x^{y} \ln (x)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x^{y} \ln (x)) + y' (e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

단계 5.5.2

$y' e^{x - y}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x^{y} \ln (x)) + y' (e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

단계 5.5.3

$y' (x^{y} \ln (x)) + y' (e^{x - y})$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

단계 5.6

$y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$ 의 각 항을 $x^{y} \ln (x) + e^{x - y}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.6.1

$y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$ 의 각 항을 $x^{y} \ln (x) + e^{x - y}$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y})}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} = \frac{e^{x - y}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} + \frac{- y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

단계 5.6.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.6.2.1

$x^{y} \ln (x) + e^{x - y}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y})}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} = \frac{e^{x - y}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} + \frac{- y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

단계 5.6.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{e^{x - y}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} + \frac{- y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

단계 5.6.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.6.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{e^{x - y} - y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x - y} - y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$