미적분 예제

$\sqrt{\frac{4 x^{2}}{6 + 2 x}}$

단계 1

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 1.1

$4$ 및 $6 + 2 x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.1

$4 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{2 (2 x^{2})}{6 + 2 x}}]$

단계 1.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 3 + 2 x}}]$

단계 1.1.2.2

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 3 + 2 (x)}}]$

단계 1.1.2.3

$2 \cdot 3 + 2 (x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot (3 + x)}}]$

단계 1.1.2.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot (3 + x)}}]$

단계 1.1.2.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{2 x^{2}}{3 + x}}]$

단계 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{\frac{2 x^{2}}{3 + x}}$ 을(를) ${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = \frac{2 x^{2}}{3 + x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{2 x^{2}}{3 + x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

단계 2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $\frac{2 x^{2}}{3 + x}$ 로 바꿉니다.

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단계 2.3.1

$4 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{6 + 2 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

단계 2.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 3 + 2 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

단계 2.3.2.2

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 3 + 2 (x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

단계 2.3.2.3

$2 \cdot 3 + 2 (x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot (3 + x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

단계 2.3.2.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot (3 + x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

단계 2.3.2.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

단계 6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

단계 7

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

단계 7.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2 x^{2}}{3 + x}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}])$

단계 7.3

항을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$

단계 7.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$

단계 7.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$

단계 7.3.3

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$

단계 8

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 3 + x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(3 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

단계 9

미분합니다.

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단계 9.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(3 + x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

단계 9.2

$3 + x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot (3 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

단계 9.3

합의 법칙에 의해 $3 + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 + x)}^{2}}$

단계 9.4

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 + x)}^{2}}$

단계 9.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x]$ 에 더합니다.

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(3 + x)}^{2}}$

단계 9.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2} \cdot 1}{{(3 + x)}^{2}}$

단계 9.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

밑을 역수로 만들어 지수의 부호를 바꿉니다.

${(\frac{3 + x}{2 x^{2}})}^{\frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

단계 10.2

$\frac{3 + x}{2 x^{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (3 + x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

단계 10.3

$2 x^{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (3 + x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

단계 10.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(2 \cdot 3 + 2 x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

단계 10.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

단계 10.6

항을 묶습니다.

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단계 10.6.1

${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 10.6.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{2 (\frac{1}{2})}} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

단계 10.6.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.6.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{2 (\frac{1}{2})}} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

단계 10.6.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{1}} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

단계 10.6.2

간단히 합니다.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

단계 10.6.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

단계 10.6.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 (x^{1} x) - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

단계 10.6.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 (x^{1} x^{1}) - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

단계 10.6.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 x^{1 + 1} - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

단계 10.6.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 x^{2} - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

단계 10.6.8

$2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

단계 10.6.9

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x}$ 에 $\frac{6 x + x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}} (6 x + x^{2})}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{2}}$

단계 10.6.10

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 ${(3 + x)}^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{2} {(3 + x)}^{- \frac{1}{2}}}$

단계 10.6.11

지수를 더하여 ${(3 + x)}^{2}$ 에 ${(3 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 10.6.11.1

${(3 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x ({(3 + x)}^{- \frac{1}{2}} {(3 + x)}^{2})}$

단계 10.6.11.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{- \frac{1}{2} + 2}}$

단계 10.6.11.3

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

단계 10.6.11.4

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

단계 10.6.11.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

단계 10.6.11.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 10.6.11.6.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

단계 10.6.11.6.2

$- 1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 10.7

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{2} + 6 x}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 10.8

$x^{2} + 6 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 10.8.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x + 6 x}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 10.8.2

$6 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 6}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 10.8.3

$x \cdot x + x \cdot 6$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x + 6)}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 10.9

공약수로 약분합니다.

$\frac{x (x + 6)}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 10.10

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x + 6}{2^{\frac{1}{2}} {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$