미적분 예제

$lim_{h \to 0} \frac{\arctan (x + h) - \arctan (x)}{h}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{h \to 0} \arctan (x + h) - \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.2.1

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{h \to 0} \arctan (x + h) - lim_{h \to 0} \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x - lim_{h \to 0} \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.3

$x + h$ 에 $t$ 을 대입하고 $lim_{h \to 0} x + h = x$ 일 때 $t$ 가 $x$ 에 근접하게 합니다.

$\frac{lim_{t \to x} \arctan (t) - lim_{h \to 0} \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.4

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $\arctan (x)$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{lim_{t \to x} \arctan (t) - \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.5

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\arctan (x) - \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.6

$\arctan (x)$ 에서 $\arctan (x)$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.3

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\arctan (x + h) - \arctan (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arctan (x + h) - \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arctan (x + h) - \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $\arctan (x + h) - \arctan (x)$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d h} [\arctan (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]$ 가 됩니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arctan (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.3

$\frac{d}{d h} [\arctan (x + h)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.3.1

$f (h) = \arctan (h)$ , $g (h) = x + h$ 일 때 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ 는 $f' (g (h)) g' (h)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + h$ 로 바꿉니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.3.1.2

$\arctan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.3.1.3

$u$ 를 모두 $x + h$ 로 바꿉니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.3.2

합의 법칙에 의해 $x + h$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ 가 됩니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.3.3

$x$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.3.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.3.6

$\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4

$- \arctan (x)$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $- \arctan (x)$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $- \arctan (x)$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.5

간단히 합니다.

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단계 1.3.5.1

$\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1}}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1}}{1}$

단계 1.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1} \cdot 1$

단계 1.5

$\frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} + 1}$

단계 2.2

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} + 1}$

단계 2.3

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1}$

단계 2.4

극한의 멱의 법칙을 이용하여 ${(x + h)}^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1}$

단계 2.5

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1}$

단계 2.6

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $x$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1}$

단계 2.7

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} + 1}$

단계 3

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{{(x + 0)}^{2} + 1}$

단계 4

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$