미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \arccos (x) d x$

단계 1

$u = \arccos (x)$ 이고 $d v = 1$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} x (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) d x$

단계 2

$x$ 와 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 을 묶습니다.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

단계 3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + 1 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

단계 4.2

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

단계 5

먼저 $u = 1 - x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 x d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$u = 1 - x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$1 - x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

단계 5.1.2

미분합니다.

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단계 5.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 5.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 5.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 5.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (2 x)$

단계 5.1.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - 2 x$

단계 5.1.4

$0$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$- 2 x$

단계 5.2

$u = 1 - x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = 1 - 0$

단계 5.3.1.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 1 + 0$

단계 5.3.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 5.4

$u = 1 - x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1 - {(\frac{1}{2})}^{2}$

단계 5.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.5.1.1

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$u_{upper} = 1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}$

단계 5.5.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{2^{2}}$

단계 5.5.1.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{4}$

단계 5.5.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$u_{upper} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

단계 5.5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$u_{upper} = \frac{4 - 1}{4}$

단계 5.5.4

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

단계 5.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

단계 5.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

단계 6.2

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

단계 6.3

$\sqrt{u}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

단계 7

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

단계 8

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

단계 9

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 9.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 9.2

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

단계 9.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 9.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

단계 9.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 9.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}}$

단계 11

대입하여 간단히 합니다.

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단계 11.1

$\frac{1}{2}$ , $0$ 일 때, $\arccos (x) x$ 값을 계산합니다.

$(\arccos (\frac{1}{2}) \frac{1}{2}) - \arccos (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}}$

단계 11.2

$\frac{3}{4}$ , $1$ 일 때, $2 u^{\frac{1}{2}}$ 값을 계산합니다.

$(\arccos (\frac{1}{2}) \frac{1}{2}) - \arccos (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 11.3

간단히 합니다.

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단계 11.3.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \arccos (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 11.3.2

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} + 0 \arccos (0) - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 11.3.3

$0$ 에 $\arccos (0)$ 을 곱합니다.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} + 0 - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 11.3.4

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 11.3.5

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1)$

단계 11.3.6

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

단계 11.3.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot \frac{2}{2}$

단계 11.3.8

$- \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot 2}{2}$

단계 11.3.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot 2}{2}$

단계 11.3.10

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) - 2 (\frac{1}{2}) (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

단계 11.3.11

$- 2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{- 2}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

단계 11.3.12

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.12.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

단계 11.3.12.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.12.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

단계 11.3.12.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

단계 11.3.12.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{- 1}{1} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

단계 11.3.12.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) - (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

단계 12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{3}$ 입니다.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

단계 12.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.2.1

$\frac{3}{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}} - 2)}{2}$

단계 12.1.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.2.2.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2)}{2}$

단계 12.1.2.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)}{2}$

단계 12.1.2.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.2.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)}{2}$

단계 12.1.2.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{1}} - 2)}{2}$

단계 12.1.2.2.4

지수값을 계산합니다.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)}{2}$

단계 12.1.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)}{2}$

단계 12.1.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{π}{3} - (3^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

단계 12.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{π}{3} - 3^{\frac{1}{2}} - - 2}{2}$

단계 12.1.4

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{π}{3} - 3^{\frac{1}{2}} + 2}{2}$

단계 12.1.5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 3^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{π}{3} - 3^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3} + 2}{2}$

단계 12.1.6

$- 3^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{π}{3} + \frac{- 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + 2}{2}$

단계 12.1.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + 2}{2}$

단계 12.1.8

지수를 더하여 $3^{\frac{1}{2}}$ 에 $3$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.8.1

$3$ 를 옮깁니다.

$\frac{\frac{π - (3 \cdot 3^{\frac{1}{2}})}{3} + 2}{2}$

단계 12.1.8.2

$3$ 에 $3^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.8.2.1

$3$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{π - (3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{2}})}{3} + 2}{2}$

단계 12.1.8.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{π - 3^{1 + \frac{1}{2}}}{3} + 2}{2}$

단계 12.1.8.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{3} + 2}{2}$

단계 12.1.8.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{2 + 1}{2}}}{3} + 2}{2}$

단계 12.1.8.5

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}}}{3} + 2}{2}$

단계 12.1.9

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}{2}$

단계 12.1.10

$2$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}{2}$

단계 12.1.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 3}{3}}{2}$

단계 12.1.12

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3}}{2}$

단계 12.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3} \cdot \frac{1}{2}$

단계 12.3

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3 \cdot 2}$

단계 12.3.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{6}$

단계 13

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{6}$

소수 형태:

$0.65757337 \dots$