미적분 예제

$y = {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{3}$

단계 1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = a + \frac{b}{x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $a + \frac{b}{x^{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [a + \frac{b}{x^{2}}]$

단계 1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [a + \frac{b}{x^{2}}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $a + \frac{b}{x^{2}}$ 로 바꿉니다.

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [a + \frac{b}{x^{2}}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $a + \frac{b}{x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}]$ 가 됩니다.

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}])$

단계 2.2

$a$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $a$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $a$ 입니다.

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}])$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}]$ 에 더합니다.

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}]$

단계 2.4

$b$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{b}{x^{2}}$ 의 미분은 $b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 입니다.

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

단계 2.5

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.5.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}])$

단계 2.5.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.5.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}])$

단계 2.5.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [x^{- 2}])$

단계 2.6

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b (- 2 x^{- 3}))$

단계 2.7

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b (x^{- 3}))$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{1}{x^{3}})$

단계 3.2

항을 묶습니다.

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단계 3.2.1

$b$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$- 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} \frac{b}{x^{3}}$

단계 3.2.2

$\frac{b}{x^{3}}$ 와 $- 6$ 을 묶습니다.

$\frac{b \cdot - 6}{x^{3}} {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}$

단계 3.2.3

$\frac{b \cdot - 6}{x^{3}}$ 와 ${(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{b \cdot - 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

단계 3.2.4

$b$ 의 왼쪽으로 $- 6$ 이동하기

$\frac{- 6 \cdot b {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

단계 3.2.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{6 b {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

단계 3.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

공통 분모를 가지는 분수로 $a$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{6 b {(\frac{a x^{2}}{x^{2}} + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

단계 3.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{6 b {(\frac{a x^{2} + b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

단계 3.3.3

$\frac{a x^{2} + b}{x^{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{6 b \frac{{(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

단계 3.3.4

지수를 묶습니다.

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단계 3.3.4.1

$6$ 와 $\frac{{(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{b \frac{6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

단계 3.3.4.2

$b$ 와 $\frac{6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\frac{b (6 {(a x^{2} + b)}^{2})}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

단계 3.3.5

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- \frac{\frac{b \cdot 6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

단계 3.3.6

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.3.6.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{\frac{b \cdot 6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{2 \cdot 2}}}{x^{3}}$

단계 3.3.6.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{\frac{b \cdot 6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{4}}}{x^{3}}$

단계 3.3.7

$b$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$- \frac{\frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{4}}}{x^{3}}$

단계 3.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- (\frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{4}} \cdot \frac{1}{x^{3}})$

단계 3.5

조합합니다.

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2} \cdot 1}{x^{4} x^{3}}$

단계 3.6

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 3.6.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2} \cdot 1}{x^{4 + 3}}$

단계 3.6.2

$4$ 를 $3$ 에 더합니다.

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2} \cdot 1}{x^{7}}$

단계 3.7

$6 b {(a x^{2} + b)}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{7}}$