미적분 예제

$\int 3 x {(4 x + 3)}^{2} d x$

단계 1

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \int x {(4 x + 3)}^{2} d x$

단계 2

먼저 $u = 4 x + 3$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 4 d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = 4 x + 3$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$4 x + 3$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 x + 3]$

단계 2.1.2

합의 법칙에 의해 $4 x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.1.3.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.4.1

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$4 + 0$

단계 2.1.4.2

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4$

단계 2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$3 \int (\frac{u}{4} - \frac{3}{4}) u^{2} \frac{1}{4} d u$

단계 3

$\frac{1}{4}$ 와 $u^{2}$ 을 묶습니다.

$3 \int (\frac{u}{4} - \frac{3}{4}) \frac{u^{2}}{4} d u$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 \int \frac{u}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

단계 4.2

$\frac{u}{4}$ 에 $\frac{u^{2}}{4}$ 을 곱합니다.

$3 \int \frac{u \cdot u^{2}}{4 \cdot 4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

단계 4.3

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 \int \frac{u^{1} u^{2}}{4 \cdot 4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

단계 4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 \int \frac{u^{1 + 2}}{4 \cdot 4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

단계 4.5

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$3 \int \frac{u^{3}}{4 \cdot 4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

단계 4.6

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$3 \int \frac{u^{3}}{16} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

단계 4.7

$- \frac{3}{4}$ 와 $\frac{u^{2}}{4}$ 을 묶습니다.

$3 \int \frac{u^{3}}{16} - \frac{3 u^{2}}{4 \cdot 4} d u$

단계 4.8

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$3 \int \frac{u^{3}}{16} - \frac{3 u^{2}}{16} d u$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$3 (\int \frac{u^{3}}{16} d u + \int - \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

단계 6

$\frac{1}{16}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{16}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 (\frac{1}{16} \int u^{3} d u + \int - \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{3}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} u^{4}$ 가 됩니다.

$3 (\frac{1}{16} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int - \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

단계 8

$\frac{1}{4}$ 와 $u^{4}$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \int - \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

단계 9

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \int \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

단계 10

$\frac{3}{16}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{3}{16}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) - (\frac{3}{16} \int u^{2} d u))$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{3}{16} (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

$\frac{1}{3}$ 와 $u^{3}$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{3}{16} (\frac{u^{3}}{3} + C))$

단계 12.2

간단히 합니다.

$3 (\frac{u^{4}}{64} - \frac{u^{3}}{16}) + C$

단계 13

$u$ 를 모두 $4 x + 3$ 로 바꿉니다.

$3 (\frac{{(4 x + 3)}^{4}}{64} - \frac{{(4 x + 3)}^{3}}{16}) + C$

단계 14

항을 다시 정렬합니다.

$3 (\frac{1}{64} {(4 x + 3)}^{4} - \frac{1}{16} {(4 x + 3)}^{3}) + C$