미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} - 2}{1 - \cos (2 x)}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + e^{- x} - 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

단계 1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

단계 1.2.2

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

단계 1.2.3

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} - x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

단계 1.2.4

$- 1$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

단계 1.2.5

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

단계 1.2.6

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{e^{0} + e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

단계 1.2.6.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{e^{0} + e^{0} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

단계 1.2.7

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.1.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1 + e^{0} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

단계 1.2.7.1.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1 + 1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

단계 1.2.7.1.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + 1 - 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

단계 1.2.7.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

단계 1.2.7.3

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

단계 1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

단계 1.3.1.2

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

단계 1.3.1.3

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

단계 1.3.1.4

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{1 - \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

단계 1.3.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{1 - \cos (2 \cdot 0)}$

단계 1.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

단계 1.3.3.1.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

단계 1.3.3.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{1 - 1}$

단계 1.3.3.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.3.3.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} - 2}{1 - \cos (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x} - 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x} - 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $e^{x} + e^{- x} - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

단계 3.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

단계 3.4.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

단계 3.4.1.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

단계 3.4.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

단계 3.4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

단계 3.4.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

단계 3.4.5

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

단계 3.4.6

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

단계 3.5

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x} + 0}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

단계 3.6

$e^{x} - e^{- x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

단계 3.7

합의 법칙에 의해 $1 - \cos (2 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]}$

단계 3.8

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]}$

단계 3.9

$\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \cos (2 x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

단계 3.9.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}$

단계 3.9.2.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])}$

단계 3.9.2.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}$

단계 3.9.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}$

단계 3.9.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))}$

단계 3.9.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - (- \sin (2 x) \cdot 2)}$

단계 3.9.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - (- 2 \sin (2 x))}$

단계 3.9.7

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 + 2 \sin (2 x)}$

단계 3.10

$0$ 를 $2 \sin (2 x)$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{2 \sin (2 x)}$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin (2 x)}$

단계 5

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{x} - e^{- x}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

단계 5.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

단계 5.1.2.2

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

단계 5.1.2.3

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} - e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

단계 5.1.2.4

$- 1$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} - e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

단계 5.1.2.5

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.5.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{0} - e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

단계 5.1.2.5.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{0} - e^{0}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

단계 5.1.2.6

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.6.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.6.1.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - e^{0}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

단계 5.1.2.6.1.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

단계 5.1.2.6.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

단계 5.1.2.6.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

단계 5.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1.1

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

단계 5.1.3.1.2

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

단계 5.1.3.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

단계 5.1.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.3.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

단계 5.1.3.3.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

단계 5.1.3.3.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

단계 5.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

단계 5.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

단계 5.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

단계 5.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

단계 5.3.2

합의 법칙에 의해 $e^{x} - e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

단계 5.3.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

단계 5.3.4

$\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- e^{- x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

단계 5.3.4.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

단계 5.3.4.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

단계 5.3.4.2.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

단계 5.3.4.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

단계 5.3.4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x} \cdot - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

단계 5.3.4.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

단계 5.3.4.6

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - - 1 e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

단계 5.3.4.7

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1 e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

단계 5.3.4.8

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

단계 5.3.5

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.3.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

단계 5.3.5.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

단계 5.3.5.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

단계 5.3.6

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}$

단계 5.3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}$

단계 5.3.8

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos (2 x) \cdot 2}$

단계 5.3.9

$\cos (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{2 \cos (2 x)}$

단계 6

극한값을 계산합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{2}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos (2 x)}$

단계 6.2

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

단계 6.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

단계 6.4

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

단계 6.5

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

단계 6.6

$- 1$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

단계 6.7

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

단계 6.8

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

단계 7

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 7.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{0} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

단계 7.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{0} + e^{0}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

단계 7.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{0} + e^{0}}{\cos (2 \cdot 0)}$

단계 8

답을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

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단계 8.1.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{e^{0} + e^{0}}{\cos (2 \cdot 0)}$

단계 8.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{0} + e^{0}}{\cos (2 \cdot 0)}$

단계 8.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + e^{0}}{\cos (2 \cdot 0)}$

단계 8.2.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + 1}{\cos (2 \cdot 0)}$

단계 8.2.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\cos (2 \cdot 0)}$

단계 8.3

분모를 간단히 합니다.

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단계 8.3.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\cos (0)}$

단계 8.3.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1}$

단계 8.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.4.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 (2)} \cdot \frac{2}{1}$

단계 8.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2}{1}$

단계 8.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2}$