미적분 예제

$- {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$

단계 1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$- (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 2.2

$n = \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$- (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 6.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$- (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 7

분수를 통분합니다.

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단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 7.2

$\frac{2}{3}$ 와 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- (\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 8

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$- \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 10

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0)$

단계 11

식을 간단히 합니다.

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단계 11.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

단계 11.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$