미적분 예제

$\frac{x + 4}{(x - 1) (x + 3)}$

단계 1

$f (x) = x + 4$ , $g (x) = (x - 1) (x + 3)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [x + 4] - (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)]}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{(x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)]}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 1) (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)]}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

단계 2.3

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$\frac{(x - 1) (x + 3) (1 + 0) - (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)]}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

단계 2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x - 1) (x + 3) \cdot 1 - (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)]}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

단계 2.4.2

$x - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)]}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

단계 3

$f (x) = x - 1$ , $g (x) = x + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) ((x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3] + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

합의 법칙에 의해 $x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) ((x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

단계 4.3

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) ((x - 1) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

단계 4.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) ((x - 1) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

단계 4.4.2

$x - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (x - 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

단계 4.5

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (x - 1 + (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

단계 4.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (x - 1 + (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

단계 4.7

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (x - 1 + (x + 3) (1 + 0))}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

단계 4.8

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (x - 1 + (x + 3) \cdot 1)}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

단계 4.8.2

$x + 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (x - 1 + x + 3)}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

단계 4.8.3

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (2 x - 1 + 3)}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

단계 4.8.4

$- 1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (2 x + 2)}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$(x - 1) (x + 3)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x - 1) (x + 3) + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

단계 5.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 1) (x + 3)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (x + 3) - 1 (x + 3) + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

단계 5.3.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 - 1 (x + 3) + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

단계 5.3.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

단계 5.3.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.2.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

단계 5.3.1.2.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{x^{2} + 3 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

단계 5.3.1.2.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} + 3 x - x - 1 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

단계 5.3.1.2.1.4

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 3 x - x - 3 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

단계 5.3.1.2.2

$3 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

단계 5.3.1.3

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 + (- x - 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

단계 5.3.1.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(- x - 4) (2 x + 2)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - x (2 x + 2) - 4 (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

단계 5.3.1.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - x (2 x) - x \cdot 2 - 4 (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

단계 5.3.1.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - x (2 x) - x \cdot 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

단계 5.3.1.5

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.5.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

단계 5.3.1.5.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.5.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

단계 5.3.1.5.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

단계 5.3.1.5.1.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 2 x^{2} - x \cdot 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

단계 5.3.1.5.1.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 2 x^{2} - 2 x - 4 (2 x) - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

단계 5.3.1.5.1.5

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 2 x^{2} - 2 x - 8 x - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

단계 5.3.1.5.1.6

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 2 x^{2} - 2 x - 8 x - 8}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

단계 5.3.1.5.2

$- 2 x$ 에서 $8 x$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 2 x^{2} - 10 x - 8}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

단계 5.3.2

$x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- x^{2} + 2 x - 3 - 10 x - 8}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

단계 5.3.3

$2 x$ 에서 $10 x$ 을 뺍니다.

$\frac{- x^{2} - 8 x - 3 - 8}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

단계 5.3.4

$- 3$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$\frac{- x^{2} - 8 x - 11}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

단계 5.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- x^{2} - 8 x - 11}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

단계 5.5

$- x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x^{2}) - 8 x - 11}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

단계 5.6

$- 8 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x^{2}) - (8 x) - 11}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

단계 5.7

$- (x^{2}) - (8 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x^{2} + 8 x) - 11}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

단계 5.8

$- 11$ 을 $- 1 (11)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (x^{2} + 8 x) - 1 (11)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

단계 5.9

$- (x^{2} + 8 x) - 1 (11)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x^{2} + 8 x + 11)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

단계 5.10

$- (x^{2} + 8 x + 11)$ 을 $- 1 (x^{2} + 8 x + 11)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x^{2} + 8 x + 11)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

단계 5.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x^{2} + 8 x + 11}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$