미적분 예제

$\int_{- 3}^{5} (5 x^{2} - e^{5 x}) d x$

단계 1

괄호를 제거합니다.

$\int_{- 3}^{5} 5 x^{2} - e^{5 x} d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 3}^{5} 5 x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

단계 3

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 \int_{- 3}^{5} x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

단계 5

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

단계 6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \int_{- 3}^{5} e^{5 x} d x$

단계 7

먼저 $u = 5 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 5 d x$ 이므로 $\frac{1}{5} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$u = 5 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 7.1.1

$5 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [5 x]$

단계 7.1.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x]$

단계 7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \cdot 1$

단계 7.1.4

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5$

단계 7.2

$u = 5 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 5 \cdot - 3$

단계 7.3

$5$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = - 15$

단계 7.4

$u = 5 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 5 \cdot 5$

단계 7.5

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 25$

단계 7.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - 15$

$u_{upper} = 25$

단계 7.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \int_{- 15}^{25} e^{u} \frac{1}{5} d u$

단계 8

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \int_{- 15}^{25} \frac{e^{u}}{5} d u$

단계 9

$\frac{1}{5}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - (\frac{1}{5} \int_{- 15}^{25} e^{u} d u)$

단계 10

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \frac{1}{5} e^{u}]_{- 15}^{25}$

단계 11

대입하여 간단히 합니다.

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단계 11.1

$5$ , $- 3$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$5 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - \frac{1}{5} e^{u}]_{- 15}^{25}$

단계 11.2

$25$ , $- 15$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$5 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

단계 11.3

간단히 합니다.

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단계 11.3.1

$5$ 를 $3$ 승 합니다.

$5 (\frac{125}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

단계 11.3.2

$- 3$ 를 $3$ 승 합니다.

$5 (\frac{125}{3} - \frac{- 27}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

단계 11.3.3

$- 27$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.3.3.1

$- 27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$5 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

단계 11.3.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 11.3.3.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$5 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

단계 11.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$5 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

단계 11.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$5 (\frac{125}{3} - \frac{- 9}{1}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

단계 11.3.3.2.4

$- 9$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$5 (\frac{125}{3} - - 9) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

단계 11.3.4

$- 1$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$5 (\frac{125}{3} + 9) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

단계 11.3.5

공통 분모를 가지는 분수로 $9$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$5 (\frac{125}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

단계 11.3.6

$9$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$5 (\frac{125}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

단계 11.3.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$5 \frac{125 + 9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

단계 11.3.8

분자를 간단히 합니다.

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단계 11.3.8.1

$9$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$5 \frac{125 + 27}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

단계 11.3.8.2

$125$ 를 $27$ 에 더합니다.

$5 (\frac{152}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

단계 11.3.9

$5$ 와 $\frac{152}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 \cdot 152}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

단계 11.3.10

$5$ 에 $152$ 을 곱합니다.

$\frac{760}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

단계 11.3.11

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15})$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{760}{3} - \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15}) \cdot \frac{3}{3}$

단계 11.3.12

$- \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15})$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{760}{3} + \frac{- \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15}) \cdot 3}{3}$

단계 11.3.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{760 - \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15}) \cdot 3}{3}$

단계 11.3.14

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{760 - 3 (\frac{1}{5}) (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

단계 11.3.15

$- 3$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{760 + \frac{- 3}{5} (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

단계 11.3.16

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{760 - \frac{3}{5} (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

단계 12

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{760 - \frac{3}{5} \cdot (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

소수 형태:

$- 14400979614.1438$

단계 13