미적분 예제

$y = \sin (x)$ , $y = 5 x$ , $x = \frac{π}{2}$ , $x = π$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

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단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$\sin (x) = 5 x$

단계 1.2

방정식의 각 변을 그립니다. 해는 교점의 x값입니다.

$x = 0$

단계 1.3

$x = 0$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$y = 5 (0)$

단계 1.3.2

$y = 5 (0)$ 에서 $x$ 에 $0$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

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단계 1.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 5 (0)$

단계 1.3.2.2

$5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = 0$

단계 1.4

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(0, 0)$

단계 2

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x d x - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

단계 3

$\frac{π}{2}$ 과(와) $π$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

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단계 3.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x - (\sin (x)) d x$

단계 3.2

$- 1$ 에 $\sin (x)$ 을 곱합니다.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x - \sin (x) d x$

단계 3.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x d x + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

단계 3.4

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 \int_{\frac{π}{2}}^{π} x d x + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

단계 3.5

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

단계 3.6

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

단계 3.7

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

단계 3.8

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \cos (x)$ 입니다.

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

단계 3.9

답을 간단히 합니다.

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단계 3.9.1

대입하여 간단히 합니다.

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단계 3.9.1.1

$π$ , $\frac{π}{2}$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$5 ((\frac{π^{2}}{2}) - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

단계 3.9.1.2

$π$ , $\frac{π}{2}$ 일 때, $- \cos (x)$ 값을 계산합니다.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$

단계 3.9.2

간단히 합니다.

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단계 3.9.2.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - (- \cos (π) + 0)$

단계 3.9.2.2

$- \cos (π)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - - \cos (π)$

단계 3.9.2.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) + 1 \cos (π)$

단계 3.9.2.4

$\cos (π)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) + \cos (π)$

단계 3.9.3

간단히 합니다.

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단계 3.9.3.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.9.3.1.1

$\frac{π}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{\frac{π^{2}}{2^{2}}}{2}) + \cos (π)$

단계 3.9.3.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{\frac{π^{2}}{4}}{2}) + \cos (π)$

단계 3.9.3.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - (\frac{π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{2})) + \cos (π)$

단계 3.9.3.3

조합합니다.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2} \cdot 1}{4 \cdot 2}) + \cos (π)$

단계 3.9.3.4

$π^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{4 \cdot 2}) + \cos (π)$

단계 3.9.3.5

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

단계 3.9.3.6

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{π^{2}}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$5 (\frac{π^{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

단계 3.9.3.7

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $8$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 3.9.3.7.1

$\frac{π^{2}}{2}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$5 (\frac{π^{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

단계 3.9.3.7.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$5 (\frac{π^{2} \cdot 4}{8} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

단계 3.9.3.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$5 \frac{π^{2} \cdot 4 - π^{2}}{8} + \cos (π)$

단계 3.9.3.9

$π^{2}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$5 \frac{4 \cdot π^{2} - π^{2}}{8} + \cos (π)$

단계 3.9.3.10

$4 π^{2}$ 에서 $π^{2}$ 을 뺍니다.

$5 \frac{3 π^{2}}{8} + \cos (π)$

단계 3.9.3.11

$5 \frac{3 π^{2}}{8}$ 을 곱합니다.

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단계 3.9.3.11.1

$5$ 와 $\frac{3 π^{2}}{8}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 (3 π^{2})}{8} + \cos (π)$

단계 3.9.3.11.2

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{15 π^{2}}{8} + \cos (π)$

단계 3.10

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.10.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$\frac{15 π^{2}}{8} - \cos (0)$

단계 3.10.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{15 π^{2}}{8} - 1 \cdot 1$

단계 3.10.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{15 π^{2}}{8} - 1$

단계 4