미적분 예제

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{1 + {(\frac{i}{n})}^{2}}$

단계 1

합을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$\frac{i}{n}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{1 + \frac{i^{2}}{n^{2}}}$

단계 1.1.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{\frac{n^{2}}{n^{2}} + \frac{i^{2}}{n^{2}}}$

단계 1.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{\frac{n^{2} + i^{2}}{n^{2}}}$

단계 1.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$1 \frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

단계 1.3

$\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

단계 1.4

합을 다시 씁니다.

$\frac{1}{n \sum_{i = 1}^{n} \frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}}$

단계 2

상수의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

단계 3

공식에 값을 대입하고 첫째 항을 곱합니다.

$(\frac{1}{n}) ((\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}) (n))$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$n$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$(\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}) (n)$ 에서 $n$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{n} (n ((\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n))$

단계 4.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{n} (n ((\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n))$

단계 4.1.3

수식을 다시 씁니다.

$(\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n$

단계 4.2

$\frac{n}{n^{2} + i^{2}}$ 와 $n$ 을 묶습니다.

$\frac{n \cdot n}{n^{2} + i^{2}}$

단계 4.3

$n$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{n^{1} n}{n^{2} + i^{2}}$

단계 4.4

$n$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{n^{1} n^{1}}{n^{2} + i^{2}}$

단계 4.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{n^{1 + 1}}{n^{2} + i^{2}}$

단계 4.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

단계 4.7

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{n^{2}}{n^{2} - 1}$

단계 4.7.2

인수분해된 형태로 $n^{2} - 1$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{n^{2}}{n^{2} - 1^{2}}$

단계 4.7.2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = n$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{n^{2}}{(n + 1) (n - 1)}$