미적분 예제

$\frac{- 1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}]$

단계 1.2

$- \frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 의 미분은 $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}]$ 입니다.

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}]$

단계 1.3

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.3.1

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 을 ${({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

단계 1.3.2

${({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

단계 1.3.2.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 1.3.2.2.1

$\frac{3}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

단계 1.3.2.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{- 3}{2}}]$

단계 1.3.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- \frac{3}{2}}]$

단계 2

$f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 2.2

$n = - \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 6.2

$- 3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 7

분수를 통분합니다.

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단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 7.2

${(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{4} (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 7.3

식을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1

${(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$- \frac{1}{4} (- \frac{3 \cdot {(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 7.3.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 7.3.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (\frac{1}{4}) (\frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 7.3.4

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 7.4

$\frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 4} \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 7.5

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 8

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 10

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} (1 + 0)$

단계 11

식을 간단히 합니다.

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단계 11.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot 1$

단계 11.2

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$