미적분 예제

$\int_{- 5}^{1} (- 5 x + 4 e^{- x}) d x$

단계 1

괄호를 제거합니다.

$\int_{- 5}^{1} - 5 x + 4 e^{- x} d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 5}^{1} - 5 x d x + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

단계 3

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 5 \int_{- 5}^{1} x d x + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$- 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

단계 6

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + 4 \int_{- 5}^{1} e^{- x} d x$

단계 7

먼저 $u = - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$u = - x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 7.1.1

$- x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- x]$

단계 7.1.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x]$

단계 7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 7.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 7.2

$u = - x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - - 5$

단계 7.3

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 5$

단계 7.4

$u = - x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

단계 7.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = - 1$

단계 7.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = - 1$

단계 7.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + 4 \int_{5}^{- 1} - e^{u} d u$

단계 8

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + 4 (- \int_{5}^{- 1} e^{u} d u)$

단계 9

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) - 4 \int_{5}^{- 1} e^{u} d u$

단계 10

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) - 4 (e^{u}]_{5}^{- 1})$

단계 11

대입하여 간단히 합니다.

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단계 11.1

$1$ , $- 5$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$- 5 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) - 4 (e^{u}]_{5}^{- 1})$

단계 11.2

$- 1$ , $5$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$- 5 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

단계 11.3

간단히 합니다.

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단계 11.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

단계 11.3.2

$- 5$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{25}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

단계 11.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 5 \frac{1 - 25}{2} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

단계 11.3.4

$1$ 에서 $25$ 을 뺍니다.

$- 5 (\frac{- 24}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

단계 11.3.5

$- 24$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.3.5.1

$- 24$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 5 \frac{2 \cdot - 12}{2} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

단계 11.3.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 11.3.5.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 5 \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

단계 11.3.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$- 5 \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

단계 11.3.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 5 (\frac{- 12}{1}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

단계 11.3.5.2.4

$- 12$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 5 \cdot - 12 - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

단계 11.3.6

$- 5$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$60 - 4 (e^{- 1} - e^{5})$

단계 12

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$60 - 4 (\frac{1}{e} - e^{5})$

단계 12.2

분배 법칙을 적용합니다.

$60 - 4 \frac{1}{e} - 4 (- e^{5})$

단계 12.3

$- 4$ 와 $\frac{1}{e}$ 을 묶습니다.

$60 + \frac{- 4}{e} - 4 (- e^{5})$

단계 12.4

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$60 + \frac{- 4}{e} + 4 e^{5}$

단계 12.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$60 - \frac{4}{e} + 4 e^{5}$

단계 13

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$60 - \frac{4}{e} + 4 e^{5}$

소수 형태:

$652.18111864 \dots$

단계 14