미적분 예제

$\arcsin (e^{3 x})$

단계 1

$f (x) = \arcsin (x)$ , $g (x) = e^{3 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $e^{3 x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

단계 1.2

$\arcsin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ 입니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $e^{3 x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(e^{3 x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

단계 2

${(e^{3 x})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{3 x \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

단계 2.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{6 x}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

단계 3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{6 x}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{6 x}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 3.3

$u_{2}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{6 x}}} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$e^{3 x}$ 와 $\frac{1}{\sqrt{1 - e^{6 x}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{3 x}}{\sqrt{1 - e^{6 x}}} \frac{d}{d x} [3 x]$

단계 4.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{e^{3 x}}{\sqrt{1 - e^{6 x}}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3

$3$ 와 $\frac{e^{3 x}}{\sqrt{1 - e^{6 x}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 e^{3 x}}{\sqrt{1 - e^{6 x}}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3 e^{3 x}}{\sqrt{1 - e^{6 x}}} \cdot 1$

단계 4.5

$\frac{3 e^{3 x}}{\sqrt{1 - e^{6 x}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 e^{3 x}}{\sqrt{1 - e^{6 x}}}$