미적분 예제

$y = 3 \sqrt{2 x^{2} - x - 4}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2 x^{2} - x - 4}$ 을(를) ${(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = 3 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}})$

단계 3

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 4.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 2 x^{2} - x - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x^{2} - x - 4$ 로 바꿉니다.

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

단계 4.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

단계 4.2.3

$u$ 를 모두 $2 x^{2} - x - 4$ 로 바꿉니다.

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

단계 4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

단계 4.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

단계 4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

단계 4.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

단계 4.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

단계 4.7

분수를 통분합니다.

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단계 4.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

단계 4.7.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(2 x^{2} - x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{{(2 x^{2} - x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

단계 4.7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(2 x^{2} - x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$3 (\frac{1}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

단계 4.7.4

$\frac{1}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4]$

단계 4.8

합의 법칙에 의해 $2 x^{2} - x - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 4.9

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 4.10

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 4.11

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 4.12

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 4.13

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 4.14

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 4.15

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 1 + 0)$

단계 4.16

$4 x - 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 1)$

단계 4.17

간단히 합니다.

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단계 4.17.1

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 1)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(4 x - 1) \frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.17.2

$4 x - 1$ 에 $\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(4 x - 1) \cdot 3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.17.3

$4 x - 1$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 (4 x - 1)}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{3 (4 x - 1)}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (4 x - 1)}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$