미적분 예제

$y = \ln ({(t + 1)}^{2})$

단계 1

$f (t) = \ln (t)$ , $g (t) = {(t + 1)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(t + 1)}^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{2}]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{2}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(t + 1)}^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{2}]$

단계 2

$f (t) = t^{2}$ , $g (t) = t + 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $t + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [t + 1])$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [t + 1])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $t + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} (2 (t + 1) \frac{d}{d t} [t + 1])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$2$ 와 $\frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) \frac{d}{d t} [t + 1])$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $t + 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]))$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) (1 + \frac{d}{d t} [1]))$

단계 3.4

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) (1 + 0))$

단계 3.5

식을 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) \cdot 1)$

단계 3.5.2

$t + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} (t + 1)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} (t + 1)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(t + 1) \frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$

단계 4.2

$t + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1

${(t + 1)}^{2}$ 에서 $t + 1$ 를 인수분해합니다.

$(t + 1) \frac{2}{(t + 1) (t + 1)}$

단계 4.2.2

공약수로 약분합니다.

$(t + 1) \frac{2}{(t + 1) (t + 1)}$

단계 4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{t + 1}$