미적분 예제

Let $f (x) = \frac{x + 1}{x - 3}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$f (x) = x + 1$ , $g (x) = x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.2.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(x - 3) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x - 3) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.2

$x - 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 3 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.2.5

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{x - 3 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x - 3 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.2.7

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$\frac{x - 3 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.2.8

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x - 3 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.2.8.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 3 - (x + 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.3

간단히 합니다.

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단계 1.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x - 3 - x - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.3.2.1

$x - 3 - x - 1 \cdot 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 1.1.3.2.1.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{0 - 3 - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.1.2

$0$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{- 3 - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.3

$- 3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{- 4}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.1.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = - \frac{4}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{4}{{(x - 3)}^{2}}$ 입니다.

$- \frac{4}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{4}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{4}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$4 = 0$

단계 2.3

$4 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{4}{{(x - 3)}^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x - 3)}^{2} = 0$

단계 3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.2.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 3.2.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $\frac{x + 1}{x - 3}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$x = 3$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.1.1

$x$ 에 $3$ 를 대입합니다.

$\frac{(3) + 1}{(3) - 3}$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

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단계 4.1.2.1

$3$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{(3) + 1}{0}$

단계 4.1.2.2

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 5

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음