미적분 예제

$\int_{0}^{1} \frac{2 \arctan (x)}{1 + x^{2}} d x$

단계 1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int_{0}^{1} \frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} d x$

단계 2

먼저 $u = \arctan (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$ 이므로 $- d u = \frac{- 1}{x^{2} + 1} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u = \arctan (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$\arctan (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

단계 2.1.2

$\arctan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

단계 2.1.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

단계 2.1.4

항을 다시 배열합니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

단계 2.2

$u = \arctan (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \arctan (0)$

단계 2.3

$\arctan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$u_{lower} = 0$

단계 2.4

$u = \arctan (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \arctan (1)$

단계 2.5

$\arctan (1)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{4}$ 입니다.

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

단계 2.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} u d u$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $u$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} u^{2}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{\frac{π}{4}})$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 와 $u^{2}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}})$

단계 5

대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{π}{4}$ , $0$ 일 때, $\frac{u^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$2 ((\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

단계 5.2

간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{0}{2})$

단계 5.2.2

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.2.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

단계 5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

단계 5.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

단계 5.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{0}{1})$

단계 5.2.2.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - 0)$

단계 5.2.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} + 0)$

단계 5.2.4

$\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 \frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$

단계 6.1.2

수식을 다시 씁니다.

${(\frac{π}{4})}^{2}$

단계 6.2

$\frac{π}{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{π^{2}}{4^{2}}$

단계 6.3

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{π^{2}}{16}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{π^{2}}{16}$

소수 형태:

$0.61685027 \dots$