미적분 예제

$y = \arctan (\frac{x}{2})$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan (\frac{x}{2}))$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = \frac{x}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

단계 3.1.2

$\arctan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

단계 3.2

미분합니다.

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단계 3.2.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \cdot 1$

단계 3.2.4

$\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$

단계 3.3

간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$\frac{x}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2 (1 + \frac{x^{2}}{2^{2}})}$

단계 3.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 1 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

단계 3.3.3

항을 묶습니다.

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단계 3.3.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

단계 3.3.3.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{4}}$

단계 3.3.3.3

$2$ 와 $\frac{x^{2}}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{4}}$

단계 3.3.3.4

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.3.4.1

$2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 + \frac{2 (x^{2})}{4}}$

단계 3.3.3.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.3.4.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

단계 3.3.3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

단계 3.3.3.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2 + \frac{x^{2}}{2}}$

단계 3.3.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{2} + 2}$

단계 3.3.5

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.3.5.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}$

단계 3.3.5.2

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}$

단계 3.3.5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 2 \cdot 2}{2}}$

단계 3.3.5.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 4}{2}}$

단계 3.3.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$1 \frac{2}{x^{2} + 4}$

단계 3.3.7

$\frac{2}{x^{2} + 4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{x^{2} + 4}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{2}{x^{2} + 4}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x^{2} + 4}$