미적분 예제

$\int \sqrt{7 - x^{2}} d x$

단계 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = \sqrt{7} \sin (t)$ 라고 하면 $d x = \sqrt{7} \cos (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\sqrt{7} \cos (t)$ 는 양수입니다.

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} - {(\sqrt{7} \sin (t))}^{2}} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\sqrt{{\sqrt{7}}^{2} - {(\sqrt{7} \sin (t))}^{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$\sqrt{7} \sin (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} - ({\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

단계 2.1.2

$1$ 을 곱합니다.

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot 1 - ({\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

단계 2.1.3

$- ({\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t))$ 에서 ${\sqrt{7}}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{7}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

단계 2.1.4

${\sqrt{7}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{7}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))$ 에서 ${\sqrt{7}}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot (1 - (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

단계 2.1.5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

단계 2.1.6

${\sqrt{7}}^{2}$ 을 $7$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{7}$ 을(를) $7^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \sqrt{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

단계 2.1.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int \sqrt{7^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

단계 2.1.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\int \sqrt{7^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

단계 2.1.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\int \sqrt{7^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

단계 2.1.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\int \sqrt{7^{1} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

단계 2.1.6.5

지수값을 계산합니다.

$\int \sqrt{7 \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

$\int \sqrt{7 \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

단계 2.1.7

$7$ 와 $\cos^{2} (t)$ 을 다시 정렬합니다.

$\int \sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 7} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

단계 2.1.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int \cos (t) \sqrt{7} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

단계 2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\cos (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

단계 2.2.2

$\cos (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

단계 2.2.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

단계 2.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int \cos^{2} (t) \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

단계 2.2.5

$\sqrt{7}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}) d t$

단계 2.2.6

$\sqrt{7}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}) d t$

단계 2.2.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{7}}^{1 + 1} d t$

단계 2.2.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{7}}^{2} d t$

단계 2.2.9

${\sqrt{7}}^{2}$ 을 $7$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.9.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{7}$ 을(를) $7^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \cos^{2} (t) {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} d t$

단계 2.2.9.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} d t$

단계 2.2.9.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{\frac{2}{2}} d t$

단계 2.2.9.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.9.4.1

공약수로 약분합니다.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{\frac{2}{2}} d t$

단계 2.2.9.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{1} d t$

단계 2.2.9.5

지수값을 계산합니다.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7 d t$

단계 2.2.10

$\cos^{2} (t)$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$\int 7 \cos^{2} (t) d t$

단계 3

$7$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $7$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$7 \int \cos^{2} (t) d t$

단계 4

반각 공식을 이용해 $\cos^{2} (t)$ 를 $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$7 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$7 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 와 $7$ 을 묶습니다.

$\frac{7}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{7}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

단계 8

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{7}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

단계 9

먼저 $u = 2 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$u = 2 t$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$2 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

단계 9.1.2

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

단계 9.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 9.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 9.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{7}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

단계 10

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{7}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

단계 11

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{7}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

단계 12

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$\frac{7}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

단계 13

간단히 합니다.

$\frac{7}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

단계 14

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$t$ 를 모두 $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})$ 로 바꿉니다.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

단계 14.2

$u$ 를 모두 $2 t$ 로 바꿉니다.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

단계 14.3

$t$ 를 모두 $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})$ 로 바꿉니다.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}))) + C$

단계 15

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1

$\frac{x}{\sqrt{7}}$ 에 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 을 곱합니다.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}))) + C$

단계 15.1.2

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.2.1

$\frac{x}{\sqrt{7}}$ 에 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 을 곱합니다.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}))) + C$

단계 15.1.2.2

$\sqrt{7}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}))) + C$

단계 15.1.2.3

$\sqrt{7}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}))) + C$

단계 15.1.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}))) + C$

단계 15.1.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}))) + C$

단계 15.1.2.6

${\sqrt{7}}^{2}$ 을 $7$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{7}$ 을(를) $7^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}))) + C$

단계 15.1.2.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}))) + C$

단계 15.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}))) + C$

단계 15.1.2.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.2.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}))) + C$

단계 15.1.2.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{1}}))) + C$

단계 15.1.2.6.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))) + C$

단계 15.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))$ 을 묶습니다.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2}) + C$

단계 15.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{7}{2} \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{7}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2} + C$

단계 15.3

$\frac{7}{2}$ 와 $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})$ 을 묶습니다.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2} + C$

단계 15.4

$\frac{7}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.4.1

$\frac{7}{2}$ 에 $\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2 \cdot 2} + C$

단계 15.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

단계 16

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

$\frac{x}{\sqrt{7}}$ 에 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 을 곱합니다.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

단계 16.2

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.1

$\frac{x}{\sqrt{7}}$ 에 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 을 곱합니다.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

단계 16.2.2

$\sqrt{7}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

단계 16.2.3

$\sqrt{7}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

단계 16.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

단계 16.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

단계 16.2.6

${\sqrt{7}}^{2}$ 을 $7$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{7}$ 을(를) $7^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

단계 16.2.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

단계 16.2.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

단계 16.2.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

단계 16.2.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{1}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

단계 16.2.6.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

단계 16.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{7}{2} \arcsin (\frac{\sqrt{7}}{7} x) + \frac{7}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{7}}{7} x)) + C$