미적분 예제

$3 x^{2} \sqrt{5 x + 3}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5 x + 3}$ 을(를) ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 5 x + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $5 x + 3$ 로 바꿉니다.

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $5 x + 3$ 로 바꿉니다.

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 8

분수를 통분합니다.

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단계 8.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 8.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$3 (x^{2} (\frac{{(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 8.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$3 (x^{2} (\frac{1}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 8.4

$\frac{1}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 3] + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 9

합의 법칙에 의해 $5 x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 10

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 12

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 + \frac{d}{d x} [3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 13

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 + 0) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 14

분수를 통분합니다.

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단계 14.1

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 5 + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 14.2

$\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $5$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{x^{2} \cdot 5}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 14.3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$3 (\frac{5 \cdot x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 15

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (\frac{5 x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 x))$

단계 16

${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$3 (\frac{5 x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} x)$

단계 17

공통분모를 사용하여 $\frac{5 x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} x$ 을 하나로 묶습니다.

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단계 17.1

${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$3 (\frac{5 x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})$

단계 17.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{5 x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}})$

단계 17.3

$2 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{5 x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}})$

단계 17.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$3 \frac{5 x^{2} + 2 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19

지수를 더하여 ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 19.1

${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x {(5 x + 3)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x {(5 x + 3)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x {(5 x + 3)}^{1}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 20

$4 x {(5 x + 3)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x (5 x + 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 21

$3$ 와 $\frac{5 x^{2} + 4 x (5 x + 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 (5 x^{2} + 4 x (5 x + 3))}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22

간단히 합니다.

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단계 22.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (5 x^{2} + 4 x (5 x) + 4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (5 x^{2}) + 3 (4 x (5 x)) + 3 (4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 22.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 22.3.1.1

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{15 x^{2} + 3 (4 x (5 x)) + 3 (4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22.3.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 22.3.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{15 x^{2} + 3 (4 (x \cdot x) \cdot 5) + 3 (4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22.3.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{15 x^{2} + 3 (4 x^{2} \cdot 5) + 3 (4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22.3.1.3

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{15 x^{2} + 3 (20 x^{2}) + 3 (4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22.3.1.4

$20$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{15 x^{2} + 60 x^{2} + 3 (4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22.3.1.5

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{15 x^{2} + 60 x^{2} + 3 (12 x)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22.3.1.6

$12$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{15 x^{2} + 60 x^{2} + 36 x}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22.3.2

$15 x^{2}$ 를 $60 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{75 x^{2} + 36 x}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22.4

$75 x^{2} + 36 x$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 22.4.1

$75 x^{2}$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x (25 x) + 36 x}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22.4.2

$36 x$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x (25 x) + 3 x (12)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22.4.3

$3 x (25 x) + 3 x (12)$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x (25 x + 12)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$