미적분 예제

$\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 2 \sqrt{x^{3}}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 2 \sqrt{x^{3}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{x}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{x}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{x}}{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

단계 2.2

$\frac{3}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 의 미분은 $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

단계 2.3

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

단계 2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

단계 2.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

단계 2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

단계 2.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

단계 2.7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

단계 2.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

단계 2.9

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

단계 2.10

$\frac{3}{2}$ 에 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

단계 2.11

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

단계 2.12

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{3}}$ 을(를) $x^{\frac{3}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{3}{2}}]$

단계 3.2

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x^{\frac{3}{2}}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 입니다.

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

단계 3.3

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

단계 3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 3.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 3.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

단계 3.7.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

단계 3.8

$\frac{3}{2}$ 와 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 3.9

$- 2$ 와 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

단계 3.10

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 6 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 3.11

$- 6 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

단계 3.12

공약수로 약분합니다.

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단계 3.12.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

단계 3.12.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

단계 3.12.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{1}$

단계 3.12.4

$- 3 x^{\frac{1}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{1}{2}}$

단계 4

항을 다시 정렬합니다.

$- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}}$