미적분 예제

$y = \frac{\sec (x)}{1 + \tan (x)}$

단계 1

$f (x) = \sec (x)$ , $g (x) = 1 + \tan (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)] - \sec (x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 2

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$\frac{(1 + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $1 + \tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 3.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (0 + \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 에 더합니다.

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 4

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 5

지수를 더하여 $\sec (x)$ 에 $\sec^{2} (x)$ 을 곱합니다.

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단계 5.1

$\sec^{2} (x)$ 를 옮깁니다.

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - (\sec^{2} (x) \sec (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 5.2

$\sec^{2} (x)$ 에 $\sec (x)$ 을 곱합니다.

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단계 5.2.1

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2 + 1}}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 5.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(1 \sec (x) + \tan (x) \sec (x)) \tan (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) \tan (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 6.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1.1

$\sec (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) \tan (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 6.3.1.2

$\tan (x) \sec (x) \tan (x)$ 을 곱합니다.

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단계 6.3.1.2.1

$\tan (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 6.3.1.2.2

$\tan (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 6.3.1.2.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 6.3.1.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 6.3.2

$\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.3.2.1

$\sec (x) \tan (x)$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 6.3.2.2

$\tan^{2} (x) \sec (x)$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 6.3.2.3

$- \sec^{3} (x)$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 6.3.2.4

$\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x)$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sec (x) (\tan (x) + \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 6.3.2.5

$\sec (x) (\tan (x) + \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sec (x) (\tan (x) + \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 6.3.3

$\tan^{2} (x)$ 와 $- \sec^{2} (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 6.3.4

$- \sec^{2} (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 6.3.5

$\tan^{2} (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x)))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 6.3.6

$- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 6.3.7

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - 1 \cdot 1)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 6.3.8

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - 1)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 6.3.9

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cdot - 1}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 6.3.10

$\sec (x)$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{\sec (x) \tan (x) - 1 \cdot \sec (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 6.3.11

$- 1 \sec (x)$ 을 $- \sec (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sec (x) \tan (x) - \sec (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 6.4

$\sec (x) \tan (x) - \sec (x)$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.4.1

$\sec (x) \tan (x)$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) - \sec (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 6.4.2

$- \sec (x)$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \cdot - 1}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

단계 6.4.3

$\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \cdot - 1$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - 1)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$