미적분 예제

$\int_{- \frac{π}{2}}^{- \frac{π}{4}} - 2 \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

단계 1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 2 \int_{- \frac{π}{2}}^{- \frac{π}{4}} \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

단계 2

먼저 $u = \csc (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u = \csc (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$\csc (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

단계 2.1.2

$\csc (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \csc (x) \cot (x)$ 입니다.

$- \csc (x) \cot (x)$

단계 2.1.3

$- \csc (x) \cot (x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- \cot (x) \csc (x)$

단계 2.2

$u = \csc (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \csc (- \frac{π}{2})$

단계 2.3

간단히 합니다.

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단계 2.3.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 더합니다.

$u_{lower} = \csc (\frac{3 π}{2})$

단계 2.3.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 코시컨트가 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$u_{lower} = - \csc (\frac{π}{2})$

단계 2.3.3

$\csc (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

단계 2.3.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = - 1$

단계 2.4

$u = \csc (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \csc (- \frac{π}{4})$

단계 2.5

간단히 합니다.

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단계 2.5.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 더합니다.

$u_{upper} = \csc (\frac{7 π}{4})$

단계 2.5.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 코시컨트가 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$u_{upper} = - \csc (\frac{π}{4})$

단계 2.5.3

$\csc (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\sqrt{2}$ 입니다.

$u_{upper} = - \sqrt{2}$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - \sqrt{2}$

단계 2.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$- 2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} - 1 u d u$

단계 3

$- 1 u$ 을 $- u$ 로 바꿔 씁니다.

$- 2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} - u d u$

단계 4

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 2 (- \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} u d u)$

단계 5

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} u d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} u^{2}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{- \sqrt{2}})$

단계 7

$\frac{1}{2}$ 와 $u^{2}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{- 1}^{- \sqrt{2}})$

단계 8

대입하여 간단히 합니다.

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단계 8.1

$- \sqrt{2}$ , $- 1$ 일 때, $\frac{u^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$2 ((\frac{{(- \sqrt{2})}^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 8.2

간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$- \sqrt{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$2 (\frac{{(- (\sqrt{2}))}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 8.2.2

$- (\sqrt{2})$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2 (\frac{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 8.2.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$2 (\frac{1 {\sqrt{2}}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 8.2.4

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 8.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$2 (\frac{1 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 8.2.4.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 8.2.4.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 8.2.4.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 8.2.4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$2 (\frac{1 \cdot 2^{1}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 8.2.4.5

지수값을 계산합니다.

$2 (\frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 8.2.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 8.2.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.6.1

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 8.2.6.2

수식을 다시 씁니다.

$2 (1 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 8.2.7

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$2 (1 - \frac{1}{2})$

단계 8.2.8

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

단계 8.2.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 \frac{2 - 1}{2}$

단계 8.2.10

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$2 (\frac{1}{2})$

단계 8.2.11

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2}$

단계 8.2.12

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.12.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{2}$

단계 8.2.12.2

수식을 다시 씁니다.

$1$